Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分別為BB₁，AC的中點．
（1）求證：BF∥平面A₁EC；
（2）求證：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接A₁C與AC₁交于點O，連接OF，證明四邊形BEOF是平行四邊形，可得BF∥OE，利用線面平行的判定定理，即可證明BF∥平面A₁EC；
（2）證明平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁，只需證明OE⊥平面A₁EC．

解答： 證明：（1）連接A₁C與AC₁交于點O，連接OF，
∵F為AC的中點，
∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E為BB₁的中點，
∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四邊形BEOF是平行四邊形，
∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC
（2）∵AB=CB，F為AC的中點，
∴BF⊥AC
由（1）知BF∥OE，
∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，
∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，
∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，
∴OE⊥平面AA₁C₁C
∵OE?面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．

點評：本小題主要考查線面平行，平面與平面垂直的判定等有關基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于中檔題．