若對任意a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求證：a+b+
2
c≤2．
考點：綜合法與分析法(選修）
專題：不等式的解法及應用
分析：利用分析法證明不等式，對不等式兩邊平方，通過已知條件以及基本不等式證明即可．
解答： 解：原不等式等價于（a+b+
2
c）2≤4…（2分）
即證a2+b2+2c2+2ab+2
2
ac+2
2
bc≤4…（4分）
即證c2+2ab+2
2
ac+2
2
bc≤3…（6分）
又c2+2ab+2
2
ac+2
2
bc≤c2+a2+b2+（
2
a）2+（
2
b）2+c2=3成立，
當且僅當a=b=
c
2
時，等號成立．…（11分）
所以a+b+
2
c≤2…（12分）
點評：本題考查不等式的證明，分析法證明方法的應用，考查分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知tanA•tanB＞1，則△ABC是（　　）
A、直角三角形
B、鈍角三角形
C、銳角三角形
D、最小內角大于45°的三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個袋中有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從袋中隨機抽取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n．求m+2≤n的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點．
（1）求證：BF∥平面A1EC；
（2）求證：平面A1EC⊥平面ACC1A1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x3-3x（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值并作出函數(shù)的圖象（要求標明極值點以及與坐標軸的交點）；
（2）若方程f（x）-a=0有2個相異的實數(shù)根，求實數(shù)a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
a(x-1)
x+1

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設m＞n＞0，求證：
lnm-lnn
2
＞
m-n
m+n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinα•cosα=
1
8
，且
π
4
＜α＜
π
2
，則cosα-sinα=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（cosωx，1），
n
=（
3
，sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=
m
•
n
，且f（x）圖象上一個最高點為P（
π
12
，2），與P最近的一個最低點的坐標為（
7π
12
，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設a為常數(shù)，判斷方程f（x）=a在區(qū)間[0，
π
2
]上的解的個數(shù)；
（3）在銳角△ABC中，若cos（
π
3
-B）=1，求f（A）的取值范圍．

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