如圖，P為線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=
p
，求證：
p
•(
a
-
b
)=
1
2
(|
a
|2-|
b
|2)．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：設(shè)C為AB的中點(diǎn)，由已知條件得
p
=
1
2
(
a
+
b
)+
CP
，
CP
•(
a
-
b
)=0，由此能證明
p
•(
a
-
b
)=
1
2
（|
a
|2-|
b
|2）．
解答： 證明：如圖，∵
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=
p
，
∴
a
-
b
=
BA
，
設(shè)C為AB的中點(diǎn)，
則
OP
=
OC
+
CP
=
1
2
(
OA
+
OB
)+
CP
，
∴
p
=
1
2
(
a
+
b
)+
CP
，
∵P為線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，
∴
CP
•
BA
=0，即
CP
•(
a
-
b
)=0，
∴
p
•(
a
-
b
)=[
1
2
(
a
+
b
)+
CP
]•（
a
-
b
）
=
1
2
(
a
+
b
)(
a
-
b
)+
CP
•(
a
-
b
)
=
1
2
(
a
2-
b
2)
=
1
2
（|
a
|2-|
b
|2）．
∴
p
•(
a
-
b
)=
1
2
(|
a
|2-|
b
|2)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)a，b，對(duì)任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2-ax-a2＞bx2-bx-b2恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=x+
b
x
  (b∈R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，則f（x）在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（　�。�
A、（-2，0）
B、（0，1）
C、（1，+∞）
D、（-∞，-2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)．
（1）若AC1⊥D1F，求a的值；
（2）若a=2，求二面角E-FD1-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的
中點(diǎn)．
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上，試
確定點(diǎn)M的位置，使二面角M-BQ-C大小為60°，并求出
PM
PC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=
3
．
（1）證明：PA⊥BO；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+a•2x
2x+1
 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明過程；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，-
1
3
)，這對(duì)任意x∈R不等式f（x2-2mx+m+1）≤
1
3
恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
mx2+8x+n
x2+1
定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)閇1，9]，求m，n．

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同步練習(xí)冊(cè)答案