Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點．
（1）若AC₁⊥D₁F，求a的值；
（2）若a=2，求二面角E-FD₁-D的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,空間向量及應用

分析：（1）以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸，建立坐標系，利用向量法能求出a的值．
（2）分別求出平面FD₁D的一個法向量為

m

和平面EFD₁的一個法向量

n

，利用向量法能求出二面角E-FD₁-D的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，
DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸，建立坐標系．
∵AB=AD=2，AA₁=a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，
∴A（2，0，0），D₁（0，0，a），
C₁（0，2，a），F(xiàn)（0，1，0）．
∴

AC1

=（-2，2，a），

D1F

=（0，1，-a）．…（2分）
∵AC₁⊥D₁F，∴

AC1

•

D1F

=0，即（-2，2，a）•（0，1，-a）=0．
∴2-a²=0，又a＞0，解得a=

2

．…（5分）
（2）平面FD₁D的一個法向量為

m

=（1，0，0）．
設(shè)平面EFD₁的一個法向量為

n

=（x，y，z），
∵E（1，0，0），a=2，
∴

EF

=（-1，1，0），

D1F

=（0，1，-2）．
由

n

⊥

EF

，

n

⊥

D1F

，得-x+y=0且y-2z=0，
解得x=y=2z．
故平面EFD₁的一個法向量為

n

=（2，2，1）．…（8分）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

(1，0，0)•(2，2，1)

1×3

=

2

3

，
且二面角E-FD₁-D的大小為銳角，
∴二面角E-FD₁-D的余弦值為

2

3

．…（10分）

點評：本題考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．