Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程．

（II）求證：點(diǎn)在直線上．

（III）是否存在實(shí)數(shù)，使得的面積是面積的倍？若存在，求出的值．若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問(wèn)題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用已知的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，從而得到的坐標(biāo)， 由直線方程獲得，驗(yàn)證是否在上即可；第三問(wèn)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)坐標(biāo)與M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標(biāo)，令，解出k的值，k有解，即存在.

試題解析：（1）由題意可知， ，于是.

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程. 3分

（2）設(shè)， ， ，

即.

所以， ， ， ，

于是.

因?yàn)?/span>，所以在直線上. 8分

（3）由（2）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，

若BDM的面積是ACM面積的3倍，

則|DM|=3|CM|，因?yàn)?/span>|OD|=|OC|，于是M為OC中點(diǎn)，；

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?/span>，解得.

于是，解得，所以. 14分