Question

設(shè)0≤α≤π，不等式x²-（2sinα）x+

1

2

cos2α≥0對x∈R恒成立，則α的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想

分析：看成是關(guān)于x的二次函數(shù)，由于對稱軸大于等于零，所以只要△≤0，或者函數(shù)的最小值≥0．

解答： 解：令f（x）=x2-(2sinα)x+

1

2

cos2α，對稱軸為x=sinα≥0，0≤α≤π，
∴對x∈R，f（x）≥0恒成立，
即△=4sin²α-2cos2α≤0，
∴2sin²α-（1-2sin²α）≤0，解得sin2α≤

1

4

，
∴0≤sinα≤

1

2

，即α∈[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]．
故答案為：[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]．

點評：本題是考查二次函數(shù)的值域問題，由數(shù)形合很容易得出等價條件．