Question

在R上可導的函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值，則

b-3

a-1

的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，

  3

  4

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（

  1

  4

  ，1）

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件

專題：函數的性質及應用

分析：據極大值點左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a，b的約束條件，據線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解∵f′（x）=x²+ax+2b，
∵函數f（x）在區(qū)間（0，1）內取得極大值，在區(qū)間（1，2）內取得極小值，
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內各有一個根，
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，在aOb坐標系中畫出其表示的區(qū)域，如

b-3

a-1

表示點A（3，1）與可行域內的點B連線的斜率，
當B（x，y）=M（-1，0）時，

b-3

a-1

最大，最大為

3

2

；
當B（x，y）=N（-3，1）時，

b-3

a-1

最小，最小為

1

2

，
∴

b-3

a-1

的取值范圍（

1

2

，

3

2

），
故選：A

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及會進行簡單的線性規(guī)劃的能力．