Question

函數(shù)f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  3

  ]
• B、[-

  1

  3

  ，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，要使f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則f'（x）=0，有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用判別式△＞0，進(jìn)行求解即可．

解答： 解：由f（x）=ax³+x，得f′（x）=3ax²+1．
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)只有一個(gè)增區(qū)間，不滿足條件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-

- 1 3a

＜x＜

- 1 3a

，由f′（x）＜0，得x＞

- 1 3a

或x＜-

- 1 3a

，
∴滿足f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的a的范圍是（-∞，0）；
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，是中檔題．