Question

【題目】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)過點(diǎn)(3，－)，離心率e＝；

(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等，且過點(diǎn)P(4，－)．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，由雙曲線的離心率，得到a=2b，然后分焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)(3，－)代入計(jì)算即可得雙曲線的方程．（2）由實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等得a=b,即雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)出等軸雙曲線方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得答案.

(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)．

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(3，－)，則.①

又e＝，故a2＝4b2.②

由①②得a2＝1，b2＝，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞0，b＞0)．

同理可得b2＝－ ，不符合題意．

綜上可知，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，

所以可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)P(4，－ )，

所以 16－10＝λ，即λ＝6.

所以 雙曲線方程為x2－y2＝6.

所以 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.