Question

已知直線l：x-y+1=0和點A（1，0）
（Ⅰ）過點A作直線l的垂線，垂足為B，求點B的坐標；
（Ⅱ）若直線l與x軸的交點為C，將△ABC繞直線l旋轉一周，求所得幾何體的表面積．

Answer 1

考點：扇形面積公式,弧度制的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）根據直線垂直的條件求出直線AB的斜率，再代入點斜式方程進行化簡，再聯立兩個直線方程求出點B的坐標；
（Ⅱ）求出點C的坐標并畫出圖象，再判斷出旋轉后所得的幾何體是圓錐，由圖求出底面的半徑和母線長，代入表面積公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，直線AB的斜率為-1，且過A（1，0），
∴直線AB的方程為：y=-（x-1），即x+y-1=0，
由

x-y+1=0 x+y-1=0

得，x=0、y=1，故B（0，1），
（Ⅱ）根據題意畫出圖象如右圖：
令y=0代入x-y+1=0得，x=-1，則C（-1，0），
將△ABC繞直線l旋轉一周得圓錐，
其底面的半徑r=|AB|=

2

，
母線為l=|AC|=2，
∴幾何體的表面積S=πrl+πr²
=（2

2

+2）π．

點評：本題考查了直線垂直的條件、點斜式方程，以及旋轉體-圓錐的表面積公式的應用．