已知函數(shù)f（x）=
x2
1+x2

（Ⅰ）分別求f（2）+f（
1
2
），f（3）+f（
1
3
），f（4）+f（
1
4
） 的值；
（Ⅱ）歸納猜想一般性結論，并給出證明；
（Ⅲ）求值：2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2014
）+
1
22
f（2）+
1
32
f（3）+…+
1
20142
f（2014）．
考點：函數(shù)的值
專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用
分析：（Ⅰ）代入解析式可分別求得結果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（
1
x
）=1，代入解析式可證明；
（Ⅲ）可得f（x）+
1
x2
f（x）=
x2
1+x2
(1+
1
x2
)=1，再由（Ⅱ）得f（x）+f（
1
x
）=1，對目標式分組求和即可；
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=
x2
1+x2
，
∴f（2）+f（
1
2
）=
22
1+22
+
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
22
1+22
+
1
1+22
=1，
同理可得f（3）+f（
1
3
）=1，f（4）+f（
1
4
）=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（
1
x
）=1，
證明：f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1．
（Ⅲ）∵f（x）+
1
x2
f（x）=
x2
1+x2
(1+
1
x2
)=1，由（Ⅱ）得f（x）+f（
1
x
）=1，
則2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2014
）+
1
22
f（2）+
1
32
f（3）+…+
1
20142
f（2014）
=[f（2）+f（
1
2
）+f（2）+
1
22
f(2)]+[f（3）+f（
1
3
）+
1
32
f(3)]+[f（2014+f（
1
2014
）+f（2014）+
1
20142
f(2014)]
=
2+2+…+2
2013個2
=4026．
點評：該題考查函數(shù)的性質、函數(shù)值的求解，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=（1+2i）（-2+i）-
3+i
1+i
．
（1）計算復數(shù)z；
（2）若z2+（2a-1）z-（1-i）b-16=0，求實數(shù)a，b的值．

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（1）試估計這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中至少有一輛的車速在[65，70）的概率．

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已知0＜x＜1，比較x、
1
x
、x2大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2-x
+
x+2
的最小值為m，最大值為M，則
m
M
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3，a10是方程x2-8x-5=0的兩根，則a5+a8=
 
．

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