Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂（2，0）與x軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)M，且|MF₂|=3．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），問(wèn)是否存在直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB的垂直平分線恰好過(guò)P點(diǎn)？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）假設(shè)存在直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB的垂直平分線恰好過(guò)P點(diǎn)．則直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由△＞0，化為：12+16k²＞t²．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N．利用PN⊥l，及其△＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，a=4，b²=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）假設(shè)存在直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB的垂直平分線恰好過(guò)P點(diǎn)．
則直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，
△=64k²t²-4（3+4k²）（4t²-48）＞0，
化為：12+16k²＞t²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8kt}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{3+4{k}^{2}}$，y₀=kx₀+t=$\frac{3t}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_PN=$\frac{\frac{3t}{3+4{k}^{2}}-1}{\frac{-4kt}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{3t-3-4{k}^{2}}{-4kt}$，
∵PN⊥l，
∴$\frac{3t-3-4{k}^{2}}{-4kt}$•k=-1，
化為：t=-3-4k²．
代入△＞0，
可得12+16k²＞（-3-4k²）²．
化為16k⁴+8k²-3＜0，
解得：${k}^{2}＜\frac{1}{4}$，即$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$．
因此存在直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB的垂直平分線恰好過(guò)P點(diǎn)．直線l的斜率范圍是$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．