Question

已知△OAB中，O為原點，點A（4，0），點B（0，2），圓C是△OAB的外接圓，P（m，n）是圓C上任一點，Q（-2，-2）．
（1）求圓C的方程；
（2）求

n+2

m+2

的最大值與最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：數(shù)形結(jié)合,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直角三角形的特點確定圓心位置和半徑，利用圓的標準方程即可解得；
（2）根據(jù)

n+2

m+2

的幾何意義可知，

n+2

m+2

可看做PQ的斜率，又由直線與圓相切的性質(zhì)可求出PQ的斜率．從而得出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵△OAB是直角三角形，
∴外接圓的圓心為AB的中點．
∴圓心坐標為C（2，1）．
半徑r=|AC|=

(2-4)2+1

=

5

．
∴圓C的方程為
（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵

n+2

m+2

可看做點P（m，n）與Q（-2，-2）連線的斜率，
∴由斜率與切斜角的關系可知，
當直線PQ與圓C相切時，

n+2

m+2

取得最大值與最小值．
設直線PQ方程為：y+2=k（x+2），
即kx-y+2k-2=0
則

|2k-1+2k-2|

k2+1

=

5

，
解得：k=2或k=

2

11

，
∴

n+2

m+2

的最大值為2，最小值為

2

11

．

點評：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，圓的標準方程，斜率公式，直線與圓相切的性質(zhì)等知識的綜合應用．屬于中檔題．