Question

已知△OAB中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，2），圓C是△OAB的外接圓，P（m，n）是圓C上任一點(diǎn)，Q（-2，-2）．
（1）求圓C的方程；
（2）求

n+2

m+2

的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)確定圓心位置和半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可解得；
（2）根據(jù)

n+2

m+2

的幾何意義可知，

n+2

m+2

可看做PQ的斜率，又由直線與圓相切的性質(zhì)可求出PQ的斜率．從而得出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵△OAB是直角三角形，
∴外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)．
∴圓心坐標(biāo)為C（2，1）．
半徑r=|AC|=

(2-4)2+1

=

5

．
∴圓C的方程為
（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵

n+2

m+2

可看做點(diǎn)P（m，n）與Q（-2，-2）連線的斜率，
∴由斜率與切斜角的關(guān)系可知，
當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，

n+2

m+2

取得最大值與最小值．
設(shè)直線PQ方程為：y+2=k（x+2），
即kx-y+2k-2=0
則

|2k-1+2k-2|

k2+1

=

5

，
解得：k=2或k=

2

11

，
∴

n+2

m+2

的最大值為2，最小值為

2

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，斜率公式，直線與圓相切的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．