Question

如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD.

(1) 求證:CD⊥平面PAC;

(2) 側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請說明理由.

Answer 1

 (1) 因?yàn)椤螾AD=90°,所以PA⊥AD.

又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.

而CD底面ABCD,所以PA⊥CD.

在底面ABCD中,因?yàn)椤螦BC=∠BAD=90°,AB=BC=AD,所以AC=CD=AD,所以AC⊥CD.

又因?yàn)镻A∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2) 在PA上存在中點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD.

證明如下:設(shè)PD的中點(diǎn)是F,

連接BE,EF,FC,則EF∥AD,且EF=AD.

(第11題)

由已知∠ABC=∠BAD=90°,所以BC∥AD.

又BC=AD,所以BC∥EF,且BC=EF,

所以四邊形BEFC為平行四邊形,所以BE∥CF.

因?yàn)锽E⊄平面PCD,CF平面PCD,所以BE∥平面PCD.