Question

已知

a

=（

3

sinωx，-cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），ω＞0，函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊a，b，c所對的角分別為A，B，C滿足2bcosA=a²，求角A的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)，化簡函數(shù)f（x）=

a

•

b

的解析式，然后，借助于二倍角公式進行進一步整理，最后，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解；
（Ⅱ）直接結(jié)合余弦定理和基本不等式進行求解即可．

解答： 解：（I）∵f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x相鄰兩條對稱軸的距離為

π

2

，
∴f（x）最小正周期為π，
由

2π

2ω

=π 得ω=1．
∴函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z），
（II）∵2bccosA=a²   
又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA．
∴4bccosA=b²+c²，
∴cosA=

b2+c2

4bc

≥

2bc

4bc

=

1

2

，
又∵A為三角形內(nèi)角，
所以0＜A≤

π

3

．
∴角A的取值范圍（0，

π

3

]．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角公式的靈活運用，二倍角公式及其應用，余弦定理，基本不等式等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．