Question

若直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|BN|=2|AM|，則k的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線y=k（x+1）（k＞0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），由此推導(dǎo)出|OA|=

1

2

|BF|，由此能求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而能求出k的值．

解答： 解：設(shè)拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線為l：x=-1
直線y=k（x+1）（k＞0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），
過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|BN|=2|AM|，則|BF|=2|AF|，
∴點(diǎn)A為BP的中點(diǎn)．
連接OA，則|OA|=

1

2

|BF|，
∴|OA|=|AF|，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

1

2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，

2

），
把（

1

2

，

2

）代入直線l：y=k（x+1）（k＞0），
解得k=

2 2

3

．
故答案為：

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．