Question

設(shè){a_n}是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0（n∈N^*），經(jīng)歸納猜想可得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0可化為a_n+1=

n

n+1

a_n，再由累乘法可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n．

解答： 解：∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴（n+1）a_n+1=na_n或a_n+1+a_n=0，
∵{a_n}是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴a_n+1=

n

n+1

a_n，
即

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

an

a1

=a_n=

1

2

×

2

3

×…×

n-1

n

=

1

n

（n∈N^*）
故這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=

1

n

（n∈N^*）
故答案為：a_n=

1

n

（n∈N^*）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用和累乘法．求數(shù)列通項(xiàng)公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等要熟練掌握．