已知函數f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]．
（1）求它的定義域和值域；
（2）求它的單調區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數，求出它的最小正周期．

如圖所示，橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，橢圓Γ上的點到F₁，F₂的距離之差的最大值為2，且其離心率e是方程4x²-8x+3=0的根．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）過左焦點F₁的直線l與橢圓Γ相交于A，B兩點，與圓x²+y²=a²相交于C，D兩點，求

|AB|

|CD|

的最小值，以及取得最小值時直線l的方程．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱A₁A⊥底面ABC，AB⊥BC，E是A₁C的中點，D在線段AC上，并且DE⊥A₁C，已知A₁A=AB=

2

，BC=2．
（1）求證：A₁C⊥平面EDB．
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

已知各項都是正數的等比數列{a_n}中，a₃=8，a₅=32．
（1）求a_n的表達式；
（2）若b_n=2+log₂a_n，求b₁，b₂，b₃；
（3）數列{b_n}的前n項和為S_n，求滿足S_n≤25的最大整數n的值．

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：AB∥平面SDC
（2）證明：SD⊥平面SAB
（3）求A點到平面SBC的距離．

已知直角△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，D為斜邊AC中點．
（1）求證：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC．

已知數列{a_n}滿足a₁=x，a₂=3x，S_n+1+S_n+S_n-1=3n²+2（n≥2，n∈N^*），S_n是數列{a_n}的前n項和，若對?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求實數x的取值范圍．

某同學將一塊底邊長為5的等腰直角三角板按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系上，其中∠OMN=

π

2

，函數f（x）=Asin（ωx），（A＞0，ω＞0），
（1）若函數f（x）在同一周期內的圖象過點O，M，N，求函數f（x）的解析式；
（2）若將該三角板繞原點按逆時針方向旋轉角α(0＜α＜

π

2

)時；頂點M′，N′恰好同時落在曲線y=

k

x

（x≠0）上，求實數k的值；
（3）若當x∈[0，π]時，函數f（x）的圖象恰好都落在△OMN內（允許落在△OMN的邊界上），求當么取最大值時，函數g（x）=cos（ωx+A）在區(qū)間[0，π]上的最值．

已知函數f（x）=

3

sinx•cosx+sin²x．
（1）求函數f（x）的最小正周期及最小值；
（2）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面積．

已知數列{a_n}的通項公式a_n=

1

2n

（n∈N），若b_n=log 

1

2

a_n²，且S_n是數列{b_n}的前n項和，當n≥5時，試證明a_nS_n＜1．