如圖，焦點(diǎn)在x軸的橢圓，離心率e=

2

2

，且過點(diǎn)A（-2，1），由橢圓上異于點(diǎn)A的P點(diǎn)發(fā)出的光線射到A點(diǎn)處被直線y=1反射后交橢圓于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與P點(diǎn)不重合）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

已知橢圓Γ：

x2

4

+y2=1．
（1）橢圓Γ的短軸端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M（m，

1

2

）滿足m≠0，且m≠±

3

．
①證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)；
②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值；
（2）若圓φ：x²+y²=4．l₁，l₂是過點(diǎn)P（0，-1）的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)₁交圓φ于T、
R兩點(diǎn)，l₂交橢圓Γ于另一點(diǎn)Q．求△TRQ面積取最大值時(shí)直線l₁的方程．

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K₁，K₂且K₁K₂=-

1

4

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程；
（2）設(shè)直線L：y=kx+m與曲線 C交于不同兩點(diǎn)，M，N，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，求O點(diǎn)到直線L的距離（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

如圖，四邊形ACBD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于M，AC⊥BD，E是DC中點(diǎn)連結(jié)EM交AB于F，作OH⊥AB于H，求證：
（1）EF⊥AB          
（2）OH=ME．

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)E是橢圓D上的一點(diǎn)，過E、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)C，若

CE

=λ

EM

，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）作直線l₁與橢圓D交于不同的兩點(diǎn)P，Q，其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足

NP

•

NQ

=4，求實(shí)數(shù)t的值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸的右側(cè)，且與y軸相切，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓

x2

25

+

y2

b2

=1(b＞0)的離心率為

4

5

，且左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，試探究在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得△PF₁F₂為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的P點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為R，求a的取值范圍．

已知直線x+y-1=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）斜率為k，且過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求證直線BD過頂點(diǎn)．

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長(zhǎng)為8，且△AF₁F₂面積最大時(shí)，△AF₁F₂為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上．

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a∈R）同時(shí)滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1

f(n+3)-1

（n∈N^*）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．