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【題目】已知函數(shù),,記
(1)證明:有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(2)記的零點(diǎn)為,,若在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,判斷與的大小,并給出對應(yīng)的證明.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:的短軸長為2,傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:.
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【題目】新中國昂首闊步地走進(jìn)2019年,迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國70周年知識問答”活動,規(guī)則如下:共有30道單選題,每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確,每答對一題獲得5顆紅星,每答錯(cuò)一題反扣2顆紅星;若放棄此題,則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品,紅星數(shù)越多獎(jiǎng)品等級越高.小強(qiáng)參加該活動,其中有些題目會做,有些題目可以排除若干錯(cuò)誤選項(xiàng),其余的題目則完全不會.
(1)請問:對于完全不會的題目,小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答,還是選擇放棄?(利用統(tǒng)計(jì)知識說明理由)
(2)若小強(qiáng)有12道題目會做,剩下的題目中,可以排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)、可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問:小強(qiáng)在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少?
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,,點(diǎn)O為AD的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面PAD;
(2)若,求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
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【題目】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過1%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:(為正常數(shù),為原污染物數(shù)量).若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了90%,那么要能夠按規(guī)定排放廢氣,至少還需要過濾( )
A. 小時(shí)B. 小時(shí)C. 5小時(shí)D. 小時(shí)
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【題目】規(guī)定投擲飛鏢3次為一輪,3次中至少兩次投中8環(huán)以上的為優(yōu)秀.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的方法估計(jì)某人投擲飛鏢的情況:先由計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0或1,用0表示該次投鏢未在8環(huán)以上,用1表示該次投鏢在8環(huán)以上;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組,代表一輪的結(jié)果.例如:“101”代表第一次投鏢在8環(huán)以上,第二次投鏢未在8環(huán)以上,第三次投鏢在8環(huán)以上,該結(jié)果代表這一輪投鏢為優(yōu)秀:"100”代表第一次投鏢在8環(huán)以上,第二次和第三次投鏢均未在8環(huán)以上,該結(jié)果代表這一輪投鏢為不優(yōu)秀.經(jīng)隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù),據(jù)此估計(jì),該選手投擲飛鏢兩輪,至少有一輪可以拿到優(yōu)秀的概率是( )
101 | 111 | 011 | 101 | 010 | 100 | 100 | 011 | 111 | 001 |
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí), 在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓與直線相切,點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn),軸于點(diǎn)N,且動點(diǎn)滿足,設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)P,Q是曲線C上兩動點(diǎn),線段的中點(diǎn)為T,,的斜率分別為,且,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為菱形,,,E,F分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)點(diǎn)G是線段上一動點(diǎn),若與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.
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