Question

13．如圖所示，半徑R=5$\sqrt{5}$m的大圓環(huán)豎直固定放置，O點(diǎn)是大圓環(huán)的圓心，O′是O點(diǎn)正上方一個(gè)固定點(diǎn)，一根長為L=5m的輕繩一端固定在O′點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m=1kg的小球，將輕繩拉至水平并將小球由位置A靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)O點(diǎn)時(shí)，輕繩剛好被拉斷，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）輕繩所能承受的最大拉力；
（2）小球落至大圓環(huán)上時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）輕繩被拉斷前瞬間所承受的拉力最大．先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子的最大拉力；
（2）繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住豎直位移和水平位移的關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出小球落到大圓環(huán)上的速度，從而求出動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)小球擺到O點(diǎn)的速度為v，小球由A到O的過程，由機(jī)械能守恒定律有：
  mgL=$\frac{1}{2}$mv²；
解得 v=10m/s
在O點(diǎn)由牛頓第二定律得：
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F=3mg=30N
即輕繩所能承受的最大拉力是30N．
（2）繩被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則小球落在大圓環(huán)上時(shí)有：
 x=vt
 y=$\frac{1}{2}$gt²
且有 x²+y²=R²
聯(lián)解并代入數(shù)據(jù)得：t=1s
小球落在大圓環(huán)上時(shí)速度為 v′=$\sqrt{{v}^{2}+（gt）^{2}}$=10$\sqrt{2}$m/s
動(dòng)能 E_k=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=100J
答：
（1）輕繩所能承受的最大拉力是30N．
（2）小球落至大圓環(huán)上時(shí)的動(dòng)能是100J．

點(diǎn)評 本題是機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，要知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．