Question

18．在用高級瀝青鋪設的高速公路上，汽車的設計時速是108km/h，汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的$\frac{3}{5}$．如果汽車在這種高速公路的水平彎道上拐彎，假設彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？事實上，在高速公路的拐彎處路面造得外高內(nèi)低，路面與水平面間的夾角為θ，且tan θ=0.2；而拐彎路段的圓弧半徑R=200m．若要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，則車速v應為多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，靠靜摩擦力提供向心力，拐彎時不產(chǎn)生橫向滑動，汽車所需要的向心力不超過最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求出最小半徑．
在高速公路的拐彎處路面造得外高內(nèi)低時，要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，汽車靠重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，再根據(jù)牛頓第二定律求解v．

解答 解：已知v₀=108 km/h=30 m/s
由題意可知：汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，當靜摩擦力最大時，汽車拐彎的半徑最小，即
  f_m=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{小}}$
所以最小半徑 r_小=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{f}_{m}}$=$\frac{m×3{0}^{2}}{0.6mg}$=150 m
由題意可知：汽車在高速路上拐彎時的向心力由重力和支持力的合力提供，則有
  F_n=mgtan θ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 v=$\sqrt{gRtanθ}$=$\sqrt{10×200×0.2}$ m/s=20 m/s
答：假設彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是150m．要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，則車速v應為20 m/s．

點評 解決本題的關鍵知道汽車在水平路面上拐彎靠靜摩擦力提供圓周運動的向心力，汽車在高速路上拐彎時，恰好靠重力和支持力的合力提供向心力．