Question

8．如圖所示，光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為R，其未端P點(diǎn)位于傾角θ=30°的足夠長斜面頂端A的正上方，且作PA=R，整個(gè)裝置在同一豎直面內(nèi)．現(xiàn)將質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧軌道頂端由靜止釋放．（重力加度為g）求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小；
（2）小物塊在斜面上的落點(diǎn)到木板頂端A的距離．

Answer 1

分析 （1）小物塊從O運(yùn)動(dòng)到P的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)P點(diǎn)的速度．在P點(diǎn)，由合力提供向心力，由向心力公式求出軌道對小物塊的支持力，再由牛頓第三定律求出小物塊對軌道的壓力．
（2）小物塊離開P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式和幾何關(guān)系求解落點(diǎn)到木板頂端A的距離．

解答 解：（1）小物塊從O運(yùn)動(dòng)到P的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{2gR}$
在P點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=3mg
根據(jù)牛頓第三定律知，小物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為：F′=F=3mg
（2）設(shè)物塊在斜面上的落點(diǎn)到木板頂端A的距離為x．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
  水平方向有：xcosθ=vt
  豎直方向有：R+xsinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得 x=4R
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小是3mg；
（2）小物塊在斜面上的落點(diǎn)到木板頂端A的距離是4R．

點(diǎn)評 本題是機(jī)械能守恒和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)，掌握分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．