Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的小球以初速度v₀=$\sqrt{gd}$下落d后，沿豎直平面內(nèi)的固定軌道ABC運動，AB是半徑為d的四分之一粗糙圓弧，BC是半徑為$\fracwpaiqti{2}$的粗糙半圓弧，小球運動到AB圓弧的最低點B時所受彈力大小N_B=5mg，且小球恰好能運動到C點，不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球在AB圓弧上運動過程中克服摩擦力做的功W₁？
（2）小球運動到BC圓弧上C點時的速度大小v_C；
（3）小球在圓弧BC上運動過程中，摩擦力對小球做的功W₂．

Answer 1

分析 （1）在B點，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解B點的速度，然后對開始到B點過程根據(jù)動能定理列式求解小球在AB圓弧上運動過程中克服摩擦力做的功W₁；
（2）小球恰好能運動到C點，故在C點，是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（3）對從B到C過程，根據(jù)動能定理列式求解摩擦力對小球做的功W₂．

解答 解：（1）設(shè)小球運動到B點的速度為v_B，結(jié)合向心力公式，有：
${N}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}tmozght$
根據(jù)動能定理，有：
2mgd-W₁=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
${W}_{1}=\frac{1}{2}mgd$
（2）在C點，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
其中：r=$\fracddlezsq{2}$
解得：${v}_{C}=\frac{\sqrt{2gd}}{2}$
（3）由動能定理，有：
-mgd+W₂=-$\frac{3}{4}mgd$
解得：${W}_{2}=-\frac{3}{4}mgd$
答：（1）小球在AB圓弧上運動過程中克服摩擦力做的功W₁為$\frac{1}{2}mgd$；
（2）小球運動到BC圓弧上C點時的速度大小v_C為$\frac{\sqrt{2gd}}{2}$；
（3）小球在圓弧BC上運動過程中，摩擦力對小球做的功W₂為-$\frac{3}{4}mgd$．

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運動情況，建立圓周運動的模型，結(jié)合向心力公式和動能定理、牛頓第二定律列式求解．