Question

15．天體A和B組成雙星系統(tǒng)，圍繞兩球心連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為T(mén)．天體A、B的半徑之比為2：1，兩天體球心之間的距離為R，且R遠(yuǎn)大于兩天體的半徑．忽略天體的自轉(zhuǎn)，天體A、B表面重力加速度之比為4：1，引力常量為G．求A天體的質(zhì)量．

Answer 1

分析 明確雙星之間的引力提供各自的向心力； 分別根據(jù)萬(wàn)有引力定律對(duì)兩天體進(jìn)行分析； 再根據(jù)雙星周期相同可知它們始終在同一直線上可得出半徑關(guān)系；同時(shí)根據(jù)天體表面重力加速度，由萬(wàn)有引力定律列式；聯(lián)立即可求得A天體的質(zhì)量．

解答 解：記A、B兩天體的質(zhì)量分別為M₁、M₂，半徑分別為2r和r圍繞兩球心連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為R₁、R₂，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得：
$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{R^2}={M_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_1}$
$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{R^2}={M_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_2}$
又R₁+R₂=R
在天體A、B表面重力加速度分別為4g、g，則：4mg=$\frac{{G{M_1}m}}{{{{（2r）}^2}}}$
mg=$\frac{{G{M_2}m}}{r^2}$
聯(lián)立得：M₁=$\frac{{64{π^2}{R^3}}}{{17G{T^2}}}$
答：A天體的質(zhì)量為$\frac{{64{π^2}{R^3}}}{{17G{T^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙星系統(tǒng)，要注意明確雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)是：圓心相同、角速度相同、受到的萬(wàn)有引力大小相同； 同時(shí)注意聯(lián)立方程求解．