Question

10．地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a，地球的同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r₁，向心加速度為a₁．已知萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R，地球赤道表面的加速度為g．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 地球質(zhì)量M=$\frac{a{R}^{2}}{G}$
• B． 地球質(zhì)量M=$\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}$
• C． a、a₁、g的關(guān)系是a＜a₁＜g
• D． 加速度之比$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{{R}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)，萬(wàn)有引力的一部分提供向心力，地球的同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，據(jù)此求解地球質(zhì)量，同步衛(wèi)星的角速度和地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)a=rω²得出物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度與同步衛(wèi)星的加速度之比，從而判斷加速度的關(guān)系．

解答 解：A、地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mg=ma$，
解得：M=$\frac{（g+a）{R}^{2}}{G}$，故A錯(cuò)誤；
B、地球的同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{a}_{1}$
解得：M=$\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}$，故B正確；
C、同步衛(wèi)星的角速度和地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，物體的角速度也等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，所以地球同步衛(wèi)星與物體的角速度相等．
根據(jù)a=rω²得，a₁：a=r：R，則a＜a₁，
在地球表面，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，而${a}_{1}=G\frac{M}{{{r}_{1}}^{2}}$，則g＞a₁，所以a＜a₁＜g，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道同步衛(wèi)星的特點(diǎn)，知道衛(wèi)星由萬(wàn)有引力提供向心力，特別注意在地球上隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體，不是萬(wàn)有引力提供向心力，難度適中．