Question

6．如圖所示，裝置的左邊是一光滑的曲面，中間是水平傳送帶，傳送帶與左右兩邊的光滑臺(tái)面等高，并能平滑對(duì)接．傳送帶長(zhǎng)l=5.5m，且始終以v=2m/s的速度順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)．裝置的右邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，水平面上有一光滑的豎直圓環(huán)軌道，圓環(huán)軌道與水平面光滑對(duì)接但不固定，圓環(huán)軌道水平直徑的左右兩側(cè)又光滑支柱P和Q能夠控制軌道只能像向上運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)軌道的質(zhì)量M=1.0kg，一質(zhì)量為m=0.5kg的小滑塊在左邊曲面上高h(yuǎn)=1.8m處由靜止開始下滑，小滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g=10m/s²．求：
（1）小滑塊第一次滑上傳送帶的左端時(shí)的速度；
（2）小滑塊第一次通過傳送帶時(shí)由于摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）若小滑塊不脫離圓環(huán)軌道且圓環(huán)軌道不離開水平面，求圓環(huán)軌道半徑的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小滑塊從開始到第一次滑上傳送帶的左端過程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求速度．
（2）研究小滑塊第一通過傳送帶的過程，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，由速度位移關(guān)系分析物塊的位移，判斷其運(yùn)動(dòng)情況，再由速度公式求出時(shí)間，求出滑塊與傳送帶間的相對(duì)位移，即可求解熱量．
（3）滑塊進(jìn)入圓軌道不脫離圓軌道的條件有兩種情況，下面分別討論：Ⅰ．物塊上升到與圓心等高處時(shí)速度為零，物塊將返回運(yùn)動(dòng)，且圓軌道不會(huì)離開地面．
Ⅱ．物塊上升能通過圓軌道的條件是在軌道最高點(diǎn)．根據(jù)臨界條件和機(jī)械能守恒定律結(jié)合解答．

解答 解：（1）小滑塊從開始到第一次滑上傳送帶的左端過程，機(jī)械能守恒，有：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{2gh}$=6m/s
（2）小滑塊第一通過傳送帶的過程，由牛頓第二定律有：
  μmg=ma
又由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 ${v}_{t}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2al
解得 v_t=5m/s＞2m/s，說明物塊在傳送帶上一直減速．
在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{{v}_{0}-{v}_{t}}{a}$=1s
小滑塊相對(duì)傳送帶的位移是：△x=l-vt=3.5m
摩擦產(chǎn)生的熱量是：Q=μmg•△x=1.75J
（3）由題意可知，小滑塊第一次經(jīng)過豎直圓環(huán)軌道不脫離圓環(huán)軌道且圓環(huán)軌道不離開水平面，以后都不會(huì)實(shí)現(xiàn)分離，只需分析滑塊第一次經(jīng)過圓環(huán)軌道的情況就可以了．進(jìn)入圓軌道不脫離圓軌道的條件有兩種情況，下面分別討論：
Ⅰ．物塊上升到與圓心等高處時(shí)速度為零，物塊將返回運(yùn)動(dòng)，且圓軌道不會(huì)離開地面．由機(jī)械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$=mgR
解得 R=1.25m，故不脫離圓的條件是 R≥1.25m．
Ⅱ．物塊上升能通過圓軌道的條件是在軌道最高點(diǎn)：
①mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
  $\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$=2mgR₁+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 R₁=0.5m
 ②同時(shí)在最高點(diǎn)，有 F+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
  $\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$=2mgR₂+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 R₂=$\frac{5}{11}$≈0.36m
故小滑塊不脫離圓環(huán)軌道且圓環(huán)軌道不離開水平面的條件是 0.36m≤R≤0.5m
兩種情況綜合得：小滑塊不脫離圓環(huán)軌道且圓環(huán)軌道不離開水平面，圓環(huán)軌道半徑的取值范圍是 R≥1.25m或0.36m≤R≤0.5m．
答：
（1）小滑塊第一次滑上傳送帶的左端時(shí)的速度是6m/s；
（2）小滑塊第一次通過傳送帶時(shí)由于摩擦產(chǎn)生的熱量是1.75J；
（3）小滑塊不脫離圓環(huán)軌道且圓環(huán)軌道不離開水平面，圓環(huán)軌道半徑的取值范圍是 R≥1.25m或0.36m≤R≤0.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過程問題，關(guān)鍵要分析清楚滑塊經(jīng)歷的過程和臨界狀態(tài)，知道摩擦生熱要根據(jù)相對(duì)位移求解，滑塊剛好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力．