福州市普通高中2009年高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

數(shù)學(xué)試題（理科）

注意事項(xiàng)：

1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名；

2．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差：

為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，其中R為球的半徑。

 

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案填在題目后面的括號(hào)內(nèi)。

1．已知為虛數(shù)單位，則                                                                        （    ）

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       A．                  B．                C．               D．

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2．設(shè)集合=        （    ）

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       A．（―3，2）                                         B．

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       C．                            D．

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3．已知等比數(shù)列=                                                   （    ）

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       A．                    B．               C．                    D．

y-c-y

       A．36                     B．45                      C．55                     D．56

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5．圖2是一個(gè)空間幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體的體積是                                     （    ）

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6．已知實(shí)數(shù)則“”是“”的                                            （    ）

       A．充分不必要條件                                B．必要不充分條件

       C．充要條件                                           D．既不充分也不必要條件

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7．已知函數(shù)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為                                                     （    ）

       A．1                       B．2                        C．3                       D．4

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8．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若一定在（    ）

       A．△ABC的內(nèi)部                                   B．AC邊所在的直線上

       C．AB邊所在直線上                              D．BC邊所在的直線上

 

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9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對(duì)邊，若a，b，c成等比數(shù)列，

                                                                                                                              （    ）

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       A．                     B．                   C．                  D．

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10．已知一容器中有A、B兩種菌，且在任何時(shí)刻A、B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值1010。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，科學(xué)家用來(lái)記錄A菌個(gè)數(shù)的資料，其中為A菌的個(gè)數(shù)。則下列判斷中正確的個(gè)數(shù)為               （    ）

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       ①

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       ②若今天的值比明天的值增加1，則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多了10個(gè)

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       ③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬(wàn)個(gè)，則此時(shí)5<<5.5

       A．0                       B．1                        C．2                       D．3

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

 

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，滿分20分。

情況，采用分層抽樣的方法抽取了500戶

家庭的月平均電用量，并根據(jù)這500戶家

庭月平均用量畫出頻率分布直方圖（如圖），

則該地區(qū)1000戶家庭中月平均用電度數(shù)

在[70，80]的家庭有       戶。

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12．已知實(shí)數(shù)的最小值為         。

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13．=            。

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14．已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線交于A，B兩個(gè)點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為         。

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15．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次為等差數(shù)列，則展開(kāi)式的第8項(xiàng)的系數(shù)為          。（用數(shù)字表示）

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三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16．（本小題滿分13分）

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已知的最小正周期為。

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   （I）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

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   （II）求的最大值和最小值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分13分）

如圖，在四棱柱ABC―A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點(diǎn)E在棱CC1上，點(diǎn)F是棱C1D1的中點(diǎn)。

   （I）若點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，求證：EF//平面A1BD；

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18．（本小題滿分13分）

甲、乙兩人共同拋擲一枚硬幣，規(guī)定硬幣正面朝上甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝，并結(jié)束游戲。

   （I）求在前3次拋擲中甲得2分，乙得1分的概率；

   （II）若甲已經(jīng)積得2分，乙已經(jīng)積得1分，求甲最終獲勝的概率；

   （III）用ξ表示決出勝負(fù)拋硬幣的次數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分13分）

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如圖，在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B、D分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線AF1交橢圓于另一點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1、F2三等分線段BD。

   （I）求a的值；

   （II）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

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20．（本小題滿分14分）

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        已知處的切線。

   （I）求l的方程；

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   （II）若切線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；

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   （III）證明：對(duì)于任意的總有單調(diào)遞減區(qū)間，并求出 的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍。（區(qū)間）

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．選做題：本題有（I）、（II）、（III）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題記分。

   （I）選修4―2：短陣與變換

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        求出曲線作用下變換得到的曲線方程

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   （II）選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

試題詳情

        求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)且圓心的極坐標(biāo)為的圓C的極坐標(biāo)方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   （III）選修4―5：不等式選講

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         已知

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

1―5 DCCBD    6―10 ACBBB

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

11．1200    12．―3    13．e    14．2    15．16

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16．（本小題滿分13分）

解：（I）由已知

   （II）

 

   （I）證明：（1）連接CD1

∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形

∴A1D1//AD，AD//BC，A1D1=AD，AD=BC；

∴A1D1//BC，A1D1=BC，

∴四邊形A1BCD1為平行四邊形；∴A1B//D1C………3分

∵點(diǎn)E、F分別是棱CC1、C1D1的中點(diǎn)；∴EF//D1C

又∴EF//A1B

又∵A1B平面A1DB，EF面A1DB；

∴EF⊥平面A1BD  ………………6分

   （II）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)G，連接A1G，EG

∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，

底面ABCD是菱形

∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，

AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，∴點(diǎn)G為BD中點(diǎn)，

∴A1G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A1GE為直二面角A1―BD―E的平面角，

∴∠A1GE=90°………………3分

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，

∴∠ABC=120°，

∴AC=

∴AG=GC=  ………………10分

在面ACC1A1中，△AGA1，△GCE為直角三角形

∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°，∴∠EGC=∠AA1G，

∴Rt△A1AG∽R(shí)t△ECG ………………12分

解法二：

   （I）證明：取AB的中點(diǎn)G，連接GD

∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2

∴△ABD是正三角形，∴DG⊥AB，DG=

又∵AB//CD，∴DG⊥DC   …………2分

∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1為直四棱柱，AA1//DD1

A1A⊥底面ABCD，∴DD1⊥底面ABCD

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DG為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D―xyz.

18．解：（I）擲一枚硬幣三次，列出所有可能情況共8種：

   （上上上），（上上下），（上下上），（上下下），（下上上），（下上下），（下下上），（下下下）；

    其中甲得2分、乙得1分的有3種，故所求概率  …………3分

   （II）在題設(shè)條件下，至多還要2局，情形一：在第四局，硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積1分，甲獲勝，概率為1/2；情形二：在第四局，硬幣正面朝下，第五局硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積2分，甲獲勝，概率為1/4。由加法公式，甲獲勝的概率為1/2+1/4=3/4。   ………………8分

   （III）據(jù)題意，ξ的取值為3、4、5，

    且   ………………11分

   

    其分布列如下：

ξ

3

4

5

P

1/4

3/8

3/8

       ………………13分

19．解：（I）∵F1，F(xiàn)2三等份BD， …………1分

       ………………3分

   （II）由（I）知為BF2的中點(diǎn)，

   

   （III）依題意直線AC的斜率存在，

 

    
   
    
    
    
    
    
        同理可求
        
       （III）法二：
        
    20．（I）解：
       （II）切線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)
    ①
    的唯一解；  ………………7分
    ②
     
     
    x
    （―1，0）
    0
    +
    0
    ―
    0
    +
    極大值0
    極小值
    ③
    x
    0
    +
    0
    ―
    0
    +
    極大值
    極小值0
       （III）
    21．（I）由已知BA=  ………………2分
    任取曲線
    則有=，即有  ………………5分
      ………………6分
    即   …………①   與   ………………②
    比較①②得
       （II）設(shè)圓C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)，過(guò)OC的直徑的另一端點(diǎn)為B，
    邊PO，PB則在直角三角形OPB中， …………5分
    （寫不扣分）
    從而有   ………………7分
       （III）證：為定值，
    利用柯西不等式得到
    ………5分
     
    
				
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊(cè)答案