湖南省長沙市一中2009年高三第二次模擬試卷
文科數(shù)學(xué)
命題:長沙市一中高三文科備課組
時(shí)量:120分鐘 滿分:150分
一、選擇題(第小題5分,共8小題,共40分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)
1.化簡的值為( )
A.?5 B.? C.5 D.
2.為得到函數(shù)y = log22x的圖象,可以把函數(shù)y = log2x的圖象( )
A.向上平移一個(gè)單位 B.向下平移一個(gè)單位
C.向左平移一個(gè)單位 D.向右平移一個(gè)單位
3.函數(shù)y = cos (x + )的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[?,] B.[,] C.[?,0] D.[0,]
4.若平面向量與向量= (1,?2)的夾角為180°,且|| = ,則= ( )
A.(?3,6) B.(3,?6) C.(6,?3) D.(?6,3)
5.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃暑假分別外出旅游,有A、B、C三條線路可選,若每條線路至少有1人選擇,則不同的安排方法有( )
A.72種 B.36種 C.18種 D.16種
6.與圓x2 + (y + 5)2 = 3相切,且縱截距和橫截距相等的直線共有( )
A.2條 B.3條 C.4條 D.6條
7.等差數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù),公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,若 {}也是等差數(shù)列,則a1 = ( )
A.1 B.
8.已知平面∥,直線l,點(diǎn)P∈l,平面、間的距離為5,則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為13且到直線l的距離為的點(diǎn)的軌跡是( )
A.一個(gè)圓 B.雙曲線的一支 C.兩條直線 D.四個(gè)點(diǎn)
二、填空題(每小題5分,共7小題,共35分)
9.若sin= ,則cos2= .
10.()6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
11.統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績,得到樣本頻率分布直方圖,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格人數(shù)為 ;優(yōu)秀率為 .
12.集合A = {y| y = x2 + 2x ? 3},B = {y| y = x + ,x<0},則A∩B = .
13.正三棱錐P ― ABC底面正三角形的邊長為1,其外接球球心O為△ ABC的重心,則此正三棱錐的體積為 .
14.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)和總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x = 噸.
15.我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類似地,在解析幾何中,我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓,已知= 1 (a>b>0)是黃金橢圓,給出下列四個(gè)命題:
①a、b、c成等比數(shù)列;
②若F2為右焦點(diǎn),B為上頂點(diǎn),A1為左頂點(diǎn),則:
③以兩通徑的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形;
④若直線l過橢圓中心,與橢圓交于點(diǎn)E、F,P為橢圓上任意一點(diǎn)(除頂點(diǎn)外),則KPE? KPF為定值.
其中正確命題的序號為 .
三、解答題
16.(本小題滿分12分)一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定:在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次,如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān).問:
(1)玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)?
(2)他連過前兩關(guān)的概率是多少?
17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x) = ,其中向量= .
①若函數(shù)y = sin2x按向量= (p,q) (|p|<)平移后得到函數(shù)y = f (x)的圖象,求實(shí)數(shù)p,q的值.
②若f (x) = 1 + ,求sinx.
18.(本小題滿分12分)如圖:正三棱柱ABC―A1B1C1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為,若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面于DB1.
(1)試確定D點(diǎn)的位置,并證明你的結(jié)論;
(2)求二面角A1―AB1―D的大小.
19.(本小題滿分13分)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,Sn = 2an ? 3n (n∈N*)
(1)若數(shù)列{an + t}成等比數(shù)列,求常數(shù)t 的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請說明理由.
20.(本小題滿分13分)已知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),且m<0
(1)求m與n的關(guān)系表達(dá)式;
(2)若f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)y= f (x)的的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.
21.(本小題滿分13分)已知函數(shù)y = kx與y = x2 + 2 (x≥0)的圖象相交于不同兩點(diǎn)A (x1,y1),B (x2,y2),l1,l2分別是y = x2 + 2 (x≥0)的圖象在A、B兩點(diǎn)的切線,M、N分別是l1、l2與x軸的交點(diǎn),P為l1與l2的交點(diǎn).
(1)求證:直線l1,y = kx,l2的斜率成等差數(shù)列;
(2)求l1與l2交點(diǎn)P的軌跡方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k使得△ABP的面積最大?若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.
第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)教師用卷
一、選擇題(第小題5分,共8小題,共40分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)
1.化簡的值為( C )
A.?5 B.? C.5 D.
2.為得到函數(shù)y = log22x的圖象,可以把函數(shù)y = log2x的圖象( A )
A.向上平移一個(gè)單位 B.向下平移一個(gè)單位
C.向左平移一個(gè)單位 D.向右平移一個(gè)單位
3.函數(shù)y = cos (x + )的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( B )
A.[?,] B.[,] C.[?,0] D.[0,]
4.若平面向量與向量= (1,?2)的夾角為180°,且|| = ,則= ( A )
A.(?3,6) B.(3,?6) C.(6,?3) D.(?6,3)
5.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃暑假分別外出旅游,有A、B、C三條線路可選,若每條線路至少有1人選擇,則不同的安排方法有( B )
A.72種 B.36種 C.18種 D.16種
6.與圓x2 + (y + 5)2 = 3相切,且縱截距和橫截距相等的直線共有( C )
A.2條 B.3條 C.4條 D.6條
7.等差數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù),公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,若 {}也是等差數(shù)列,則a1 = ( A )
A.1 B.2 C.3 D.
8.已知平面∥,直線l,點(diǎn)P∈l,平面、間的距離為5,則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為13且到直線l的距離為的點(diǎn)的軌跡是( D )
A.一個(gè)圓 B.雙曲線的一支 C.兩條直線 D.四個(gè)點(diǎn)
二、填空題(每小題5分,共7小題,共35分)
9.若sin= ,則cos2= .
10.()6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 15 .
11.統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績,得到樣本頻率分布直方圖,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格人數(shù)為 800 ;優(yōu)秀率為 20% .
12.集合A = {y| y = x2 + 2x ? 3},B = {y| y = x + ,x<0},則A∩B = [?4,?2] .
13.正三棱錐P ― ABC底面正三角形的邊長為1,其外接球球心O為△ ABC的重心,則此正三棱錐的體積為.
14.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)和總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x = 20 噸.
15.我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類似地,在解析幾何中,我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓,已知= 1 (a>b>0)是黃金橢圓,給出下列四個(gè)命題:
①a、b、c成等比數(shù)列;
②若F2為右焦點(diǎn),B為上頂點(diǎn),A1為左頂點(diǎn),則:
③以兩通徑的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形;
④若直線l過橢圓中心,與橢圓交于點(diǎn)E、F,P為橢圓上任意一點(diǎn)(除頂點(diǎn)外),則KPE? KPF為定值.
其中正確命題的序號為 ①②③④ .
三、解答題
16.(本小題滿分12分)一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定:在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次,如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān).問:
(1)玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)?
(2)他連過前兩關(guān)的概率是多少?
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)最大為6,拋擲n次點(diǎn)數(shù)之和的最大值為6n,所以6×1>12,6×2>22,6×3>32,6×4>42,6×5>52,6×6 = 62,6×7<72,……,當(dāng)n≥6時(shí),點(diǎn)數(shù)之和不可能大于n2,即此時(shí)過關(guān)的概率為0.所以小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過5關(guān).
(2)記第n次過關(guān)為事伯An,基本事件總數(shù)為6n.
第一關(guān):由12 = 1知,點(diǎn)數(shù)不小于2即可,所以P (A1) = ,
第二關(guān):由22 = 4知,考慮對立事件,即“不能過第二關(guān)”依次取a = 2,3,4,解不定方程x + y = a,得其解的個(gè)數(shù)是,從而P (A2) = 1 ? P.所以他連過前兩關(guān)的概率是P = . (12分)
17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x) = ,其中向量= .
①若函數(shù)y = sin2x按向量= (p,q) (|p|<)平移后得到函數(shù)y = f (x)的圖象,求實(shí)數(shù)p,q的值.
②若f (x) = 1 + ,求sinx.
【解析】①f (x) = cos2x ? sinx cosx =
= sin ∴ (6分)
②sin (2x + ) + ∴sin (2x + ) = 1 ∴2x + =
∴2x = x = (k∈Z) ∵x∈[],∴x = (10分)
∴sin () = (12分)
18.(本小題滿分12分)如圖:正三棱柱ABC―A1B1C1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為,若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面于DB1.
(1)試確定D點(diǎn)的位置,并證明你的結(jié)論;
(2)求二面角A1―AB1―D的大。
【解析】(1)點(diǎn)D為A1C1中點(diǎn)。證明如下 (2分)
設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)E,連結(jié)DE,∴DE∥BC1 ∴BC1∥面DAB1
∴面DAB1即為所求平面,D點(diǎn)即為所求 (6分)
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