2. 已知全集

A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　D.

1.已知集合，，則

A 　　B 　　C 　D

2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的區(qū)間.

(1)求三角函數(shù)最值時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性.

(2)含參數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意參數(shù)的作用和影響.

對(duì)于含有sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問(wèn)題，常用的方法是令sinx±cosx=t,,將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題。

例14．求y=的最值？

思悟小結(jié)

1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：①配方法(主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性)；②化為一個(gè)角的三角函數(shù)(主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性)；③數(shù)形結(jié)合法(常用到直線的斜率關(guān)系)；④換元法(如萬(wàn)能公式，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題)；⑤基本不等式法等.

例13．求函數(shù)y=x+的最大、最小值

解：∵xR　　 ∴可設(shè)x=sin(-)

則有y=sin +∣cos ∣

∵-　　　 ∴cos≥0

∴y=sin 　+ cos=sin(+)

∵-　 ∴-≤≤+≤

∴-1≤sin(+)

當(dāng)=-　 亦即x=-1　　 函數(shù)y=-1

當(dāng)=　　 亦即x=　 函數(shù)y=

上述例中都運(yùn)用了三角代換能使某些代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題得到最解決。在這類(lèi)題型的解題中，必需確定所設(shè)三角中角的變化范圍，這是十分重要的環(huán)節(jié)，否則在后面的解題就得分類(lèi)討論或者發(fā)生矛盾的現(xiàn)象，甚至使整題前功盡棄。

例10．求函數(shù)y = 的最小值　 (0< x < )

解：∴0 < x < 　　∵sin x + cos x – 1 ≠0

y = 1 + = 1+　 (0 < x < )

　　 ∴0 < -1 ≤-1

∴y≥1+=3+2

∴函數(shù)y在0 < x 范圍內(nèi)的最小值3+2

這是一例分子、分母只有常數(shù)項(xiàng)不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項(xiàng)后，通過(guò)恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時(shí)，這個(gè)“翻下去”的式子不能為零，如果這個(gè)式子可能為零，則應(yīng)將為零的情況另作處理�！霸O(shè)其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來(lái)考慮最值。

例11．.y=的最大值是_________，最小值是_________.

解析一：y==1－.

當(dāng)sinx=－1時(shí)，得y_min=－1，

當(dāng)sinx=1時(shí)，得y_max=.

解析二：原式sinx=(∵y≠1)

||≤1－1≤y≤.

∴y_max=，y_min=－1.

答案：　 －1

例12．.y=(0＜x＜π)的最小值是________.

解析一：y=ysinx+cosx=2sin(x+)=2

sin(x+)=(x∈(0，π))

0＜≤1y≥.

∴y_min=.

解析二：y可視為點(diǎn)A(－sinx，cosx)，B(0，2)連線的斜率k_AB，而點(diǎn)A的軌跡

x∈(0，π)是單位圓在第二、三象限的部分(如下圖)，易知當(dāng)A(－，)時(shí)，y_min=k_AB=.

例6．已知：定義在上的減函數(shù)，使得

　 對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)的范圍。

　 解：由題意可得　 ，

　　　　　　 即　　 　　，

　　 又　 ， ，

　　 　，　　 ，

　　 ，　 或　 .

例7．如果∣x∣≤求函數(shù)f(x)=cos²x + sin x 的最大、最小值。

解：y= -- sin²x + sin x + 1 = --(sin x --)² +

設(shè) sin x = t　 得y = --(t -- )² + 　　由題設(shè)∣x∣≤.

∴ - ≤sin x ≤　　 ∴- 　≤ t ≤

因?yàn)閒(x)在[-，]是增函數(shù)，在[，]是減函數(shù)

∴當(dāng)x = -時(shí)，=

　 當(dāng)x = 時(shí)， =

上例就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，就可以求含三角式的二次函數(shù)的最值。但是在運(yùn)用這個(gè)方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。

例8、在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值。

本題是一個(gè)經(jīng)典習(xí)題，有多種解法。下面解法中把角C當(dāng)作主元化為二次形式，再進(jìn)行配方，又利用，此法具有一般性。

例9．設(shè)。求f (x)的最大、小值。

分析：二次函數(shù)，分類(lèi)討論

。令。所以

則ⅰ)當(dāng)時(shí)，即：-4≤a≤4時(shí)，；當(dāng) -4≤a≤0時(shí)，；當(dāng) 0≤a≤4時(shí)，；

　 ⅱ)當(dāng)時(shí)，即a≤-4，；。

　 ⅲ)當(dāng)時(shí)，即a≥4，；。

處理方法：引入輔助角　，化為y=sin(x+),利用函數(shù)即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類(lèi)。

例3 。已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x＜2,求a的取值范圍。

注：本題綜合運(yùn)用三角恒等變形，三角函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立等知識(shí)，是一個(gè)較好的三角函數(shù)綜合題。

例4．求函數(shù)y=a sin x + b cos x的最值。

解：y=a sin x + b cos x=sin(x + arc tg)

∴當(dāng)x=2k+--arc tg時(shí)，y_max =

　 當(dāng)x=2k+--arc tg時(shí)，y_min =--

例5．求函數(shù)y= sin²x+2sinx cosx+3 cos²x的最小值、最大值。并寫(xiě)出函數(shù)y 取

最值時(shí)的x的集合。

解：∵y= sin 2x + 2cos²x + 1 = sin 2x + cos 2x + 2 = 　sin(2x +)+ 2

∴當(dāng)sin(2x +)= --1時(shí)， 有y_min = 2 --.

　 當(dāng)sin(2x +)= 1時(shí)，有y_max = 　2 +.

此時(shí)有2x + = 2k--,　 x = k--　 (kz)

　　 2x + = 2k + , x = k+ 　(kz)

　故函數(shù)y取最小值2--時(shí)x 的集合是{x∣x = k--,　 kz }

　　　　 y取最大值2 +時(shí)x 的集合是{x∣x = k+,　 kz }

從上面三例可以清晰地看出，這一類(lèi)的三角函數(shù)的最值求解中運(yùn)用的基本的方法是“利用輔助角法”，將較復(fù)雜的三角式轉(zhuǎn)化成“Asin()” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時(shí)，也應(yīng)對(duì)自變量的取值范圍要仔細(xì)地考察。

處理方法：利用，即可求解，此時(shí)必須注意字母a的符號(hào)對(duì)最值的影響。

例1 函數(shù)y=acosx+b(a、b為常數(shù))，若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.

剖析：函數(shù)y=acosx+b的最值與a的符號(hào)有關(guān)，故需對(duì)a分類(lèi)討論.

解：當(dāng)a＞0時(shí)，a=4，b=－3；

當(dāng)a=0時(shí)，不合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)，a=－4，b=－3.

當(dāng)a=4，b=－3時(shí)，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin(x+)(tan=－)；

當(dāng)a=－4，b=－3時(shí)，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin(x+)(tan=).

∴bsinx+acosx的最大值為5.

例2．例3　 已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，求常數(shù)、的值.

　　 解：∵ ，

　　　　　　　　 　.

　　 ∵ ，∴ ，∴ .

　　 當(dāng)時(shí)，.

　　 ∴ 　　解得　

　　 當(dāng)時(shí)，.

　　 ∴　 　　解得　

　　 故、的值為 　或

　　 感悟：分類(lèi)討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，本例若不對(duì)常數(shù)進(jìn)行討論，將會(huì)出錯(cuò)。

20．(14分)已知函數(shù)(a＞1).

　　　 (1)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性；

　　　 (2)求f (x)的值域；

　　　 (3)證明f (x)在(－∞，+∞)上是增函數(shù).