1．通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；

3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)問(wèn)題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)尋求方法。

① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；

② AB時(shí)，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。

③若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是－1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。

④區(qū)分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。

⑥符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(面)的關(guān)系 ；符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。

邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門(mén)學(xué)科，是人們認(rèn)識(shí)和研究問(wèn)題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

2．強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問(wèn)題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容(即讀懂問(wèn)題中的集合)以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來(lái)加深對(duì)集合的理解，一個(gè)集合能化簡(jiǎn)(或求解)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)(或求解)；

集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語(yǔ)言，并用集合語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、、、、=、A、∪，∩等等；

+(200÷30)＝146

所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54(個(gè))

點(diǎn)評(píng)：分析200個(gè)數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡(jiǎn)單，可考慮用扣除法。

題型7：集合綜合題

例11．(1999上海，17)設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因?yàn)?i>AB，所以，于是0≤a≤1。

點(diǎn)評(píng)：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過(guò)程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作S_n,設(shè)集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}。

試問(wèn)下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明：

(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；

(2)A∩B至多有一個(gè)元素；

(3)當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠。

解：(1)正確；在等差數(shù)列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(diǎn)(a_n,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a₁),于是點(diǎn)(a_n, )均在直線y=x+a₁上。

(2)正確；設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

當(dāng)a₁=0時(shí)，方程(^*)無(wú)解，此時(shí)A∩B=；

當(dāng)a₁≠0時(shí)，方程(^*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。

∴A∩B至多有一個(gè)元素。

(3)不正確；取a₁=1，d=1，對(duì)一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x₀,y₀),而x₀=＜0,y₀=＜0，這樣的(x₀,y₀)A,產(chǎn)生矛盾，故a₁=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的。

點(diǎn)評(píng)：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。

變式題：解答下述問(wèn)題：

(Ⅰ)設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

　 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解　　 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋　 的意義，然后才能提出解決問(wèn)題的具體方法。

解：

的取值范圍是_UM={m|m<-2}.

(解法三)設(shè)這是開(kāi)口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于

注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。

(Ⅱ)已知兩個(gè)正整數(shù)集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用，

(Ⅲ)

　 分析：正確理解

　 　 　 要使,

由

當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不合題意；

當(dāng)①

又由

由②，

由①、②得

∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1

點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問(wèn)題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。

題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題

例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？

　 解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中間的位置}，

D={丙站在正中間的位置}，

則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示，

∴不同的排法有種.

點(diǎn)評(píng)：這是一道排列應(yīng)用問(wèn)題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯(cuò)，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說(shuō)明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。

例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有

(1)設(shè)，證明：

(2)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;

(3)設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。

解：

對(duì)任意,,,,所以

對(duì)任意的，

，

　 ，

　 所以0<,

令=，

，

所以

反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得,。

則由，

得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。

，

所以

+…

。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來(lái)的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。

題型1：集合的概念

例1．設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是(　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項(xiàng)為D；

點(diǎn)評(píng)：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。

例2．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是(　　 )

A．PQ　　　　　　　　　 B．QP　　　　　　　 C．P=Q　　　　　　　　 D．P∩Q=Q

解：Q={m∈R|mx²+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立＝，對(duì)m分類：

①m=0時(shí)，－4＜0恒成立；

②m＜0時(shí)，需Δ=(4m)²－4×m×(－4)＜0，解得m＜0。

綜合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案為A。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能忽略m=0的情況。

題型2：集合的性質(zhì)

例3．(2000廣東，1)已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是(　　 )

A．15　 　　　　　　　　　 B．16 　　　　　　　　　　 C．3 　　　　　　　　　　　　　 D．4

解：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有2⁴－1=15(個(gè))。選項(xiàng)為A；

點(diǎn)評(píng)：該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬(wàn)不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí)，A不是A的真子集。

變式題：同時(shí)滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個(gè)，舉出這些集合來(lái)。

答案：這樣的集合M有8個(gè)。

例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由。

解：∵；

∴，即＝0，解得

當(dāng)時(shí)，，為A中元素；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。

另法：∵

∴，

∴＝0且

∴或。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過(guò)程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：。

變式題：已知集合，,,求的值。

解：由可知，

(1)，或(2)

解(1)得，

解(2)得，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符，

所以，。

題型3：集合的運(yùn)算

例5．(06全國(guó)Ⅱ理，2)已知集合M＝{x|x＜3，N＝{x|log₂x＞1}，則M∩N＝(　 )

A．　　　　 B．{x|0＜x＜3　　　 C．{x|1＜x＜3　　　　　 D．{x|2＜x＜3

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。故選項(xiàng)為D。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。

例6．(06安徽理，1)設(shè)集合，，則等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：，，所以，故選B。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。

題型4：圖解法解集合問(wèn)題

例7．(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____　　　 _。

解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a≤－2。

點(diǎn)評(píng)：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問(wèn)題。

例8．(1996全國(guó)理，1)已知全集I＝N^*，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N^*}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，則(　　 )

A．I＝A∪B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．I＝(A)∪B

C．I＝A∪(B　　 )　　　　　　　　　　　　 D．I＝(A)∪(B)

解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有C選項(xiàng)正確.

方法二：因A＝{2，4，6，8…}，B＝{4，8，12，16，…}，所以B＝{1，2，3，5，6，7，9…}，所以I＝A∪B，故答案為C.

方法三：因BA，所以()A()B，()A∩(B)＝A，故I＝A∪(A)＝A∪(B)。

方法四：根據(jù)題意，我們畫(huà)出Venn圖來(lái)解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無(wú)限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。

題型5：集合的應(yīng)用

例9．向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。

設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。

點(diǎn)評(píng)：在集合問(wèn)題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來(lái)。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫(huà)出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。

例10．求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？

解：如圖先畫(huà)出Venn圖，不難看出不符合條件　 　　　　　　　　　　　　　　　　

的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

5．集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)：

(1)

(2)

(3)

(4)；

(5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。

4．交集與并集：

(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。

(2)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩��?i>B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。

注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3．全集與補(bǔ)集：

(1)包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；

(2)若S是一個(gè)集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集；

(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)()=A；2)S=，=S。

2．集合的包含關(guān)系：

(1)集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作AB(或)；

　 集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A　　 B；

(2)簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)AA；2)A；3)若AB，BC，則AC；4)若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2ⁿ個(gè)子集(其中2ⁿ－1個(gè)真子集)；