3．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，點E為CC₁中點，點P為BD₁中點． 證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；

證：建立如圖的坐標系，得B(0，1，0)，D₁(1，0，2)，F(，，1)，C₁(0，0，2)，E(0，0，1)．

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ ．

故EF是為BD₁ 與CC₁的公垂線．

2．設=(cosα，1，sinα)，=(sinα，1，cosα)，求證：(+)⊥(－)。

1．下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別是其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的圖形的序號是_____________．①④⑤．

7．已知向量=(3，0，1)，=(-1，1，2)，⊥，∥，若=－，求向量的坐標。(-，1，)

考查空間向量的概念及運算．要求空間向量的加法、減法和數(shù)乘、空間向量的坐標運算、空間向量的數(shù)量積的概念、性質．

6．若e₁，e₂，e₃是三個不共面向量，試問向量a=3e₁+2e₂+e₃，b=－e₁+ e ₂+3 e ₃，c=2e ₁－e ₂－4 e ₃是否共面，并說明理由。

解：由共面向量定理可知，關鍵是能否找到三個不全為零的實數(shù)x，y，z，

使得xa+yb+zc=0，即x(3 e₁+2e₂+e₃)+y(－e₁+ e ₂+3 e ₃)+z(2 e ₁－e ₂－4 e ₃)=0，

即(3x－y+2z)e₁+(2x+y－z)e₂+(x+3y－4z)e₃=0。由于e₁，e₂，e₃不共面，

故得3x－y+2z=0，①　　 2x+y－z=0，②　　　 x+3y－4z=0。③

①+②求得z=－5x，代入③得y=－7x，取x=1，則y=－7，z=－5，于是a－7b－5c=0，

即a=7b+5c，所以a，b，c三向量共面。

5．已知、是空間兩個單位向量，它們的夾角為60°，設向量=2+，=－3+2，則向量與的夾角是_______．120°

4．命題：

①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；

②向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；

③若a與b共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使b=λa；

④若A、B、C三點不共線，O是平面ABC外一點，= + + ，

則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內部．

上述命題中的真命題是_____________．④

解：①中b為零向量時，a與c可以不共線，故①是假命題；②中a所在的直線其實不確定，故②是假命題；③中當a=0，而b≠0時，則找不到實數(shù)λ，使b=λa，故③是假命題；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC內，故④是真命題．

3．下列命題中不正確的命題個數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

①若A、B、C、D是空間任意四點，則有+++=0;　

②|a|－|b|=|a+b|是a、b共線的充要條件;　

③若a、b共線，則a與b所在直線平行;　

④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若=x+y+z(其中x、y、z∈R)，

則P、A、B、C四點共面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

A．1　　　 　　　　　　　 B．2　　　 　　　　　　　　 C．3　　　 　　　　　　　 D．4

2．設O，P，A，B為空間任意四個點，如果滿足=m+n，且m+n=1，則 ( A　 )

A．P在直線AB上　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．P不在直線AB上

C．P有可能在直線AB上　 　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不對

1．在以下命題中:

①若a、b共線，則a與b所在直線平行

②若a，b所在直線是異面直線，則a與b一定不共面

③若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量一定也共面

④若a，b，c三向量共面，則由a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線所確定的平面一定平行。正確命題的個數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( A　 )

A．0　　　　 　　　　　　　 B．1　　　　 　　　　　　 C．2　　　　 　　　　　　　 D．3