3．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若=(),b=()則e·=·e=︱︱cos　 (e為單位向量);

⊥b·b=0(，b為非零向量);︱︱=;

cos==．

2．兩個向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量與b，它們的夾角為，則·b=︱︱·︱b︱cos．

其中︱b︱cos稱為向量b在方向上的投影．

1．向量的夾角：

已知兩個非零向量與b，作=, =b,則∠AOB= ()叫做向量與b的夾角。

15、解：(1)方程有兩實根或…………………………..1分

由題意知:當時,，

又∵　　　　　 ∴…………………………………………….3分

∴是的一個零點，同理，也是的一個零點，…………………….4分

∴，即，，

顯然，對恒成立。

∴，…………………………………………………………………….6分

(2)∵，，

∴，……………………………..7分

∴，，，

∴，………………………………………………………..…..9分

……………...10分

又∵…………….12分

∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………….13分

∴，∴為定值。………………………..14分

14、解：(1)在上為增函數(shù)…………………………………..1分

∵，∴，……….…………….3分

∵ 當時，……………………………….4分

∴ 當時，，

∴當時，，…………………………..5分

∴，∴在上單增�！�……………………6分

(2)由題意及(1)可知，，，…………………7分

∴……..8分

∵，∴，……………..9分

，

∴…………………………………………………..10分

令則

∴，……………………………………………11分

∵………………………………..…….12分

∴在單增，……………………………………..……………..13分

∴當時，�！�……………………………………………..14分

13、解：(1)由拋物線經(jīng)過點、設(shè)拋物線方程，

又拋物線過點，則，得，

所以�！　　　　　� …………………… 3分

(2)，

，函數(shù)在和處取到極值，…… 5分

故，

，

　 ………… 7分

又，故�！　　　　　　　　　　　　　　　� …… 8分

(3)設(shè)切點，則切線的斜率

又，所以切線的方程是

　　 …… 9分

又切線過原點，故

所以，解得，或。　 ………… 10分

兩條切線的斜率為，，

由，得，，

，

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 12分

所以，

又兩條切線垂直，故，所以上式等號成立，有，且。

所以�！　　　　　　� ………… 14 分

12、解：由 ，得點是的中點，

則， 故，，………… 4分

所以

　 …… 6分

(2)由(1)知當時，。　　　 …… 8分

又，　 ………… 10分

∴，

　 ∴

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 13分

　 (，且)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 14分

10、解：(1)當時，由得，

；(且)------------------------------------------------------2分

當時，由.得--------------------------------------4分

∴---------------------------5分

(2)當且時，由<0,解得，---------------6分

當時，------------------------------8分

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－1，0)和(0，1)---------------------------------------9分

(3)對，都有即，也就是對恒成立，-------------------------------------------11分

由(2)知當時，

∴函數(shù)在和都單調(diào)遞增-----------------------------------------------12分

又，

當時，∴當時，

同理可得，當時，有，

綜上所述得，對， 取得最大值2；

∴實數(shù)的取值范圍為.----------------------------------------------------------------14分

11(1)解：函數(shù)有一個零點為5，即方程，有一個根為5，將代入方程得，∴，∴---------------1分

由得

∴或-------------------------------3分

由(1)知，∴不合舍去

由得---------------------------4分

方法1：由得----------------------5分

∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列

∴，∴-------------------------------6分

(方法2：由---①得當時----②

①-②得

∴()即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列

∵，∴---------------③

由①得代入③整理得)

(2)由(1)知

∴＝------8分

∵對有，∴

∴，即---------------------------------------------10分

(3)由得

∴＝-----------------------11分

令，則，＝

∵函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)-----12分

當時，當時，當時，，當時，

∵，且

∴當時,有最小值，即數(shù)列有最小項，最小項為

--------------------------------------------------------13分

當即時，有最大值，即數(shù)列有最大項，最大項為．

9、解：(1)證明：定義在R上的函數(shù)對任意的，

都有成立

令　　　　　 (1分)

令　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∴為奇函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)證明：由(1)知：為奇函數(shù)， ∴　 (5分)

任取，且，則　　　　　　

　　 ∵

　 ∴

∵當時，，　

∴，∴　　　　 (8分)

∴是R上的增函數(shù)�！　　� 　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)

(3)解：∵，且

　　　　 ∴　　　　　　　　　　　 (10分)

　　 由不等式，得　　　　 (11分)

　 由(2)知：是R上的增函數(shù)

　 ∴　　　　　　 (13分)

　 ∴不等式的解集為：　　　　　　　　　 (14分)

8、解：(I)由圖形知：　　 ………2分

　解之,得∴函數(shù)f(x)的解析式為　　　　 ………4分

(Ⅱ)由　　 得 　…2分

∵0≤t≤2，

∴直線l₁與f(x)的圖象的交點坐標為　　　　　 ……………3分

由定積分的幾何意義知：

　………4分

.　　　　　　 　　　　　　　　……………5分

(Ⅲ)令

因為x＞0，要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)

的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………1分

.

當x∈(0，1)時，是增函數(shù)；

當x∈(1，3)時，是減函數(shù);

當x∈(3，+∞)時，是增函數(shù);　　　　　　　 ………………2分

當x=1或x=3時，.

∴.

又因為當x無限趨近于零時，當x無限大時,

所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

即∴m=7,或

所以當m=7或時，函數(shù)與的圖象有且只有兩個不同交點.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分