15.用數(shù)字0,1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
(1)可組成多少個不同的四位數(shù)?
(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)?
解:(1)直接法:A·A=300;
間接法:A-A=300.
(2)由題意知四位數(shù)個位數(shù)上必須是偶數(shù);同時暗含了首位不能是0,因此該四位數(shù)的個位和首位是“特殊位置”,應(yīng)優(yōu)先處理;另一方面,0即是偶數(shù),又不能排在首位,屬“特殊元素”應(yīng)重點對待.
解法一:(直接法)0在個位的四位偶數(shù)有A個;0不在個位時,先從2,4中選一個放在個位,再從余下的四個數(shù)(不包括0)中選一個放在首位,應(yīng)有A·A·A個.
綜上所述,共有A+A·A·A=156(個).
解法二:(間接法)從這六個數(shù)字中任取四個數(shù)字組成最后一位是偶數(shù)的排法,有A·A,其中第一位是0的有A·A個,故適合題意的數(shù)有A·A-A·A=156(個).
(3)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)能被3整除,符合題意的有:
①含0,3則需1,4和2,5各取1個,
可組成C·C·C·A;
②含0或3中一個,均不符合題意;
③不含0,3,由1,2,4,5可組成A個.
所以共有C·C·C·A+A=96(個).
14.一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球,6個不同的白球.
(1)從中任取4個,使紅球的個數(shù)不比白球少,這樣的取法有多少種?
(2)若取一個紅球記2分,取一個白球記1分,從口袋中取5個球,使總分不小于7的取法有多少種?
解:(1)從中任取4個,使紅球的個數(shù)不比白球少的方法可分為三類:
第一類:紅球取4個的方法有C;
第二類:紅球取3個,白球取1個的方法有C·C;
第三類:紅球取2個,白球取2個的方法有C·C.
由加法原理可知,共有取法C+CC+CC=115種.
(2)設(shè)取紅球x個,取白球y個,依題意可知:
且0≤x≤4,0≤y≤6,解得
這樣把總分不小于7的取法可以分為三類:
第一類:紅球取2個,白球取3個的方法有CC;
第二類:紅球取3個,白球取2個的方法有CC;
第三類:紅球取4個,白球取1個的方法有CC.
由加法原理,滿足條件的取法共有CC+CC+CC=186種.
13.男運動員6名,女運動員4名,其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)男運動員3名,女運動員2名;
(2)至少有1名女運動員;
(3)隊長中至少有1人參加;
(4)既要有隊長,又要有女運動員.
解:(1)第一步:選3名男運動員,有C種選法.
第二步:選2名女運動員,有C種選法.
共有C·C=120種選法.
(2)解法一:至少1名女運動員包括以下幾種情況:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分類計數(shù)原理可得總選法數(shù)為
CC+CC+CC+CC=246種.
解法二:“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解.
從10人中任選5人有C種選法,其中全是男運動員的選法有C種.
所以“至少有1名女運動員”的選法為C-C=246種.
(3)解法一:可分類求解:
“只有男隊長”的選法為C;
“只有女隊長”的選法為C;
“男、女隊長都入選”的選法為C;
所以共有2C+C=196種選法.
解法二:間接法:
從10人中任選5人有C種選法,
其中不選隊長的方法有C種.所以“至少1名隊長”的選法為C-C=196種.
(4)當(dāng)有女隊長時,其他人任意選,共有C種選法.不選女隊長時,必選男隊長,共有C種選法.其中不含女運動員的選法有C種,所以不選女隊長時的選法共有C-C種選法.
所以既有隊長又有女運動員的選法共有
C+C-C=191種.
12.某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,求該外商不同的投資方案有多少種?
解:可先分組再分配,據(jù)題意分兩類,一類:先將3個項目分成兩組,一組有1個項目,另一組有2個項目,然后再分配給4個城市中的2個,共有CA種方案;另一類1個城市1個項目,即把3個元素排在4個不同位置中的3個,共有A種方案.由分類計數(shù)原理可知共有CA+A=60種方案.
11.某校開設(shè)9門課程,供學(xué)生選修,其中A、B、C 三門由于上課時間相同,至多選1門,學(xué)校規(guī)定,每位同學(xué)選修4門,共有__________種不同的選修方案.(用數(shù)字作答).
答案:75
解析:第一類:從A、B、C 三門選一門有C·C=60種,第二類:從其它六門選4門有C=15種,
∴共有60+15=75種不同的方法.
10.將數(shù)字1,2,3,4,5,6 排成一列,記第i個數(shù)為ai,(i=1,2,3,4,5,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,且a1<a3<a5,則不同的排列方法有__________種.(用數(shù)字作答)
答案:30
解析:由題設(shè)知a5必為6.
第一類:當(dāng)a1=2時,a3可取4、5,∴共有2A=12種;
第二類:當(dāng)a1=3時,a3可取4、5,∴共有2A=12種;
第三類:當(dāng)a1=4時,a3必取5,∴有A=6種.
∴共有12+12+6=30種.
9.(2009·北京市東城區(qū))6個人分乘兩輛不同的出租車,如果每輛車最多能乘4個人,則不同的乘車方案有________種.
答案:50
解析:由題意可知將6個人分為兩組有4,2;3,3兩種分組方式,若分組為4,2,則不同的乘車方案有CA=30種,若分組為3,3,則不同的乘車方案有×A=20種,綜上可得不同的乘車方案共有30+20=50種.
8.(2009·吉林省質(zhì)檢)A、B、C、D、E 5人爭奪一次比賽的前三名,組織者對前三名發(fā)給不同的獎品,若A獲獎,B不是第一名,則不同的發(fā)獎方式共有( )
A.72種 B.30種
C.24種 D.14種
答案:B
解析:解答本題注意正確的分類,若A獲獎且是第一名時,第二名和第三名由其他四人得有A種可能,若A獲獎且不是第一名時,第一名只能由C,D,E三個人得,然后A獲獎有2種可能,再由其他3個人選1個獲得剩下的獎品,此時有3×2×3=18種可能,故共有A+18=30種發(fā)獎方式.故選B.
7.(2009·西安八校)從3名男生和3名女生中選出3人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表,要求至少有1名女生,則不同的選派方案共有( )
A.19種 B.54種
C.114種 D.120種
答案:C
解析:從6個人中選出3人有C=20種不同的選法,其中不選女生只有一種方法,則選3個人分別擔(dān)任不同的課代表且至少有一名女生的不同選派方案共有(20-1)A=114種.故選C.
6.(2008·杭州十中)將4名實習(xí)老師分配到高一年級的3個班級實習(xí),每班至少1名,則不同的分配方案有( )
A.6種 B.12種
C.24種 D.36種
答案:D
解析:先將4名實習(xí)教師無序分成3組,然后在3個班級全排列,則不同的分配方案有CA=36,故選D.
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