Question

19．在△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求證：∠1=∠2．

Answer 1

分析 過(guò)C作CH⊥AC交AE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠H，推出△ABD≌△ACH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CH，等量代換得到CD=CH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACB=45°，推出△CDE≌△CHE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠2=∠H，等量代換得到結(jié)論．

解答 證明：過(guò)C作CH⊥AC交AE的延長(zhǎng)線于H，
∴∠HAC+∠H=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠CAH+∠1=90°，
∴∠1=∠H，
在△ABD與△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACH=90°}\\{∠1=∠H}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴AD=CH，
∵AD=CD，
∴CD=CH，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HCE=45°，
在△CDE與△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CH}\\{∠ACB=∠HCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CHE，
∴∠2=∠H，
∴∠1=∠2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．