Question

4．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，分別延長BA至點E，AB至點F，使得AE=2，且∠ECF=135°，若設AB=x，BF=y，試求出y與x之間的兩數關系式．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形性質求出∠CAE=∠CBF=135°，求出∠ECA+∠BCF=45°，∠E+∠ACE=45°，推出∠E=∠BCF，即可推出兩三角形相似；根據等腰直角三角形性質和銳角三角函數定義求出AC和BC長，根據相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答 證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB；
∵AB=x，∠CAB=45°，∠ACB=90°，AC=BC，
∴sin45°=$\frac{CB}{x}$，
∴CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=AC，
∵由（1）知△ECA∽△CFB，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{AC}{BF}$，
∴$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²，
即y與x之間的函數關系式是y=$\frac{1}{4}$x²．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，銳角三角函數的定義等知識點，通過做此題培養(yǎng)了學生的分析問題和解決問題的能力．