Question

7．將直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P（5，5）處，兩直角邊分別與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn)和B點(diǎn)．
（1）如圖①，求OB+OA的值以及四邊形OBPA的面積；
（2）如圖②，求OA-OB的值；
（3）如圖③，以P為頂點(diǎn)，作∠DPE=45°，求證：DE-BD=AE．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，求出PN=PM，求出∠NPB=∠APM，∠PNB=∠PMA=90°，證△PNB≌△PMA，推出AM=BN、0M=ON，證0A+OB=OM+ON=8；
（2）如圖②過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，由P（5，5），得到PM=MO=ON=PN=5，由于∠MPB+∠BPN=∠MPN=90°，∠BPN+∠NPA=90°，于是得到∠MPB=∠NPA，推出△PBN≌△APM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=BN，即可得到結(jié)論；（3）過P作PF⊥PE，由∠DPE=45°，推出PD為∠FPE的平分線，由（1）（2）同理可得，PF=PE，證得△PDF≌△PDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BDP=∠GDP，過P作∠DPQ=∠DPB，由∠APB=90°，∠DPE=∠DPQ+∠EPQ=45°，得到∠OPB=∠EPA=45°，∠EPQ=∠EPA，證得△DPB≌△DPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=DQ，BP=PQ，由（1）（2）知，PA=PB，求得PQ=PA，推出△PEQ≌△PEA，得到QE=EA，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∵P（5，5），
∴PN=PM=5，∠NPM=360°-90°-90°-90°=90°=∠BPA，
∴∠NPB=∠APM，∠PNB=∠PMA=90°，
在△PNB和△PMA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴AM=BN、0M=ON，
∴0A+OB=OM+ON=10；

（2）如圖②，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∵P（5，5），
∴PM=MO=ON=PN=5，
∵∠MPB+∠BPN=∠MPN=90°，∠BPN+∠NPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
在△PBN與△APM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPA=∠MPB}\\{∠PNB=∠AMP}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△APM，
∴AM=BN，
∴OA-OB=（OM+MA）-（NB-NO）=OM+ON=10；

（3）如圖③，過P作PF⊥PE，
∵∠DPE=45°，
∴PD為∠FPE的平分線，
由（1）（2）同理可得，PF=PE，
在△PDF與△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{∠FPD=∠EPD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PDE，
∴∠BDP=∠GDP，
過P作∠DPQ=∠DPB，
∵∠APB=90°，∠DPE=∠DPQ+∠EPQ=45°，
∴∠OPB=∠EPA=45°，∠EPQ=∠EPA，
在△DPB與△DPG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DPQ=∠DPB}\\{PD=PD}\\{∠BDP=∠QDP}\end{array}\right.$，
∴△DPB≌△DPQ，
∴BD=DQ，BP=PQ，
由（1）（2）知，PA=PB，
∴PQ=PA，
在△PEQ與△PEA中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{∠EPQ=∠EPA}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PEQ≌△PEA，
∴QE=EA，
∴DE=DQ+QE=BD+AE，
∴DE-BD=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．