Question

如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線交于A₁．
（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，∠A₁=

 

°；
（2）如圖2，∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續(xù)下去可得A₄，請(qǐng)寫出∠A與∠A₄的數(shù)量關(guān)系

 

；
（3）如圖3，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，試求∠Q與∠A₁的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁CD=

1

2

∠ACD，∠A₁BC=

1

2

∠ABC，然后整理即可得到∠A₁=

1

2

∠A；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算規(guī)律解答即可；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠ACE+∠AEC，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠QCE+∠QEC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線交于A₁，
∴∠A₁CD=

1

2

∠ACD，∠A₁BC=

1

2

∠ABC，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°；

（2）由（1）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁，
∠A₃=

1

2

∠A₂，
∠A₄=

1

2

∠A₃，
∴∠A=16∠A₄；
故答案為：35；∠A=16∠A₄．

（3）∵EQ、CQ分別為∠AEC、∠ACE的角平分線，
∴∠QEC=

1

2

∠AEC，∠QCE=

1

2

∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-

1

2

（∠AEC+∠ACE），
=180°-

1

2

∠BAC，
由（1）可知∠BAC=2∠A₁，
∴∠Q=180°-∠A₁，
∴∠Q+∠A₁=180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．