Question

已知，△OAB和△OCD都是等邊三角形，若△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)到如圖位置，連結(jié)AC，BD，AC與BD相交于點E．
（1）求證：△OAC≌△OBD；
（2）求∠AEB的大小；
（3）若△OCD繞點O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，問∠AEB是變大還是變�。窟�是不變？（請直接寫答案，不要求證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由△OAB和△OCD都是等邊三角形，得出OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，再進(jìn)一步得出∠AOC=∠BOD證得結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形和外角的性質(zhì)，可求∠AEB=60°；
（3）方法同（2），只是∠AEB=∠8-∠5，此時已不是外角，但仍可用外角和內(nèi)角的關(guān)系解答．

解答：解：（1）∵△OAB和△OCD都是等邊三角形，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD．  
在△OAC和△OBD中

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△OAC≌△OBD．        
∴AC=BD；              
（2）如圖，

由（1）得，∠1=∠2，
∵∠AEB=∠3-∠2，∠3=∠AOB+∠1，
∴∠AEB=∠3-∠2=∠AOB+∠1-∠2=∠AOB，
∴∠AEB=60°；                                
（3）∠AEB的大小不變．                         
如圖，

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．

點評：此題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形和外角的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形，找出變與不變存在的內(nèi)在聯(lián)系．