如圖1,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)E在斜邊AB上,過(guò)點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F,設(shè)AE=x,△AEF的面積為y.

(1)求線段AD的長(zhǎng);
(2)若EF⊥AB,當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)時(shí),
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量x的取值范圍);
②當(dāng)x取何值時(shí),y有最大值?并求出最大值.
(3)若點(diǎn)F在直角邊AC上(點(diǎn)F與A、C不重合),點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng),試問(wèn),是否存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在直線EF,求出x的值;若不存在直線EF,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng),再根據(jù)Rt△ADC∽R(shí)t△ACB,利用其相似比即可求出AD的長(zhǎng);
(2)①分別根據(jù)x的取值范圍及三角形的面積公式分類可得x、y的函數(shù)關(guān)系式;
②根據(jù)①中所求的函數(shù)關(guān)系式求出其最值即可.
(3)先求得△ABC的面積的
1
2
,進(jìn)而得到△AEF得到面積的函數(shù)關(guān)系式,讓它等于3列式即可求解.
解答:解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=
32+42
=5,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠ACB,
又∠CAD=∠CAD,
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB,
AD
AC
=
AC
AB
,即
AD
3
=
3
5
,AD=
9
5


(2)①由于E的位置不能確定,故應(yīng)分兩種情況討論:
如圖A:當(dāng)0<x≤AD,即0<x≤
9
5
時(shí),
∵EF⊥AB,
∴Rt△AEF∽R(shí)t△ACB,即
AE
AC
=
EF
BC
,
∵AC=3,BC=4,AE=x,
x
3
=
EF
4
,EF=
4
3
x,
S△AEF=y=
1
2
AE•EF=
1
2
x•
4
3
x=
2
3
x2
如圖B:當(dāng)AD<x≤AB,即
9
5
<x≤5時(shí),
∵EF⊥AB,
∴Rt△BEF∽R(shí)t△BCA,
EB
BC
=
EF
AC

∵AE=x,△AEF的面積為y,
5-x
4
=
EF
3
,
∴EF=
15-3x
4
,
y=
1
2
×AE×EF=
1
2
x•
15-3x
4
=
15x
8
-
3x2
8

②當(dāng)如圖A:當(dāng)0<x≤AD,即0<x≤
9
5
時(shí),
S△AEF=y=
1
2
AE•EF=
1
2
x•
4
3
x=
2
3
x2,當(dāng)x=AD,即x=
9
5
時(shí),y最大=
2
3
×(
9
5
2=
54
25

如圖B:當(dāng)AD<x≤BD,即
9
5
<x≤5時(shí),
y=
1
2
3
4
(5-x)=
15x
8
-
3x2
8
,y最大=
75
32
,此時(shí)x=2.5<5,故成立.
故y最大=
75
32


(3)存在.
假設(shè)存在,當(dāng)0<x≤5時(shí),AF=6-x,∴0<6-x<3,
∴3<x<6,
∴3<x≤5,
作FG⊥AB于點(diǎn)G,
由△AFG∽△ACD,
AF
AC
=
FG
CD
,
6-x
3
=
FG
12
5
,
即FG=
4
5
(6-x),
∴S△AEF=
1
2
x•
4
5
(6-x)=-
2
5
x2+
12
5
x,
∴3=-
2
5
x2+
12
5
x,
解得:x1=
6+
6
2
,x2=
6-
6
2
,
∵3<x≤5,
∴x1=
6+
6
2
(符合題意),x2=
6-
6
2
(不合題意,應(yīng)舍去),
故存在x,直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分,此時(shí)x=
6+
6
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),比較復(fù)雜,是典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,涉及面較廣,涉及到勾股定理、二次函數(shù)的最值及相似三角形的有關(guān)知識(shí),綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,∠AOB=45°,點(diǎn)O1在OA上,OO1=7,⊙O1的半徑為2,點(diǎn)O2在射線OB上運(yùn)動(dòng),且⊙O2始終與OA相切,當(dāng)⊙O2和⊙O1相切時(shí),⊙O2的半徑等于
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的n個(gè)小球,其中有3個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)摸出一球,記下其顏色,把它放回袋中,攪勻后,再摸出一球,…通過(guò)多次試驗(yàn)后,發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定于0.3,則n的值大約是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(2,5)在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上,過(guò)點(diǎn)A的直線y=x+b交x軸于點(diǎn)B.
(1)求k和b的值;
(2)求△OAB的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某數(shù)學(xué)興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了50名同學(xué)進(jìn)行“舌尖上的長(zhǎng)沙-我最喜愛(ài)的長(zhǎng)沙小吃”調(diào)查活動(dòng),將調(diào)查問(wèn)卷整理后繪制成如圖所示的不完整條形統(tǒng)計(jì)圖:

請(qǐng)根據(jù)所給信息解答以下問(wèn)題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若全校有2000名同學(xué),請(qǐng)估計(jì)全校同學(xué)中最喜愛(ài)“臭豆腐”的同學(xué)有多少人?
(3)在一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為四種小吃的序號(hào)A、B、C、D,隨機(jī)地摸出一個(gè)小球然后放回,再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球,請(qǐng)用列表或畫樹(shù)形圖的方法,求出恰好兩次都摸到“A”的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”,例如點(diǎn)(-1,-1),(0,0),(
2
,
2
),…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”,顯然,這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè).
(1)若點(diǎn)P(2,m)是反比例函數(shù)y=
n
x
(n為常數(shù),n≠0)的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”,求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)函數(shù)y=3kx+s-1(k,s是常數(shù))的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎?若存在,請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a,b是常數(shù),a>0)的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A(x1,x1),B(x2,x2),且滿足-2<x1<2,|x1-x2|=2,令t=b2-2b+
157
48
,試求出t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

我市某超市舉行店慶活動(dòng),對(duì)甲、乙兩種商品實(shí)行打折銷售.打折前,購(gòu)買3件甲商品和1件乙商品需用190元;購(gòu)買2件甲商品和3件乙商品需用220元.而店慶期間,購(gòu)買10件甲商品和10件乙商品僅需735元,這比不打折前少花多少錢?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1)求證:直線DE是⊙O的切線;
(2)當(dāng)cosA=
4
5
,AC=8時(shí),求⊙O的直徑.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,0)、B(0,3),過(guò)點(diǎn)B作直線∥x軸,點(diǎn)P(a,3)是直線上的動(dòng)點(diǎn),以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAPQ,∠APQ=Rt∠,直線AQ交y軸于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)a=1時(shí),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
 
; 
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng).當(dāng)a=
 
時(shí),AQ+BQ的值最小為
 

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