Question

2．如圖，拋物線y=m（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6，頂點(diǎn)為M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將此拋物線繞x軸的正半軸上一點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后，所得拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸分別交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，用含n的式子表示△MNE的面積S；
（3）在（2）的條件下，若以點(diǎn)M、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得N、E、D的坐標(biāo)，根據(jù)x軸上兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得CE的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得n的值，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線y=m（x+2）²-5，得
對(duì)稱軸為x=-2．
由拋物線y=m（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6，得
-2+3=1，即B（1，0），-2-3=-5，即A（-5，0），
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
9m-5=0，解得m=$\frac{5}{9}$，
拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{5}{9}$（x+2）²-5；
（2）如圖1

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
N（n，5），E（n+3，0），D（n-3，0）．
E、A關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，得
C點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{n-2}{2}$，0）．
CE的長(zhǎng)為n+3-$\frac{n-2}{2}$=$\frac{n+8}{2}$．
S=S_△MCE+S_△NCE=$\frac{1}{2}$CE•|y_M|+$\frac{1}{2}$CE•y_N=$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×|-5|+$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×5=$\frac{5}{2}$n+20；
（3）MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34；
①當(dāng)MN²+ME²=NE²時(shí)，（n+2）²+（5+5）²+（n+5）²+5²=34，
化簡(jiǎn)，得n²+7n+60=0，△=7²-4×1×60=-191＜0，方程無解；
②如圖2
，
當(dāng)MN²+NE²=ME²時(shí)，（n+2）²+（5+5）²+34=（n+5）²+5²，
化簡(jiǎn)，得6n=88，解得n=$\frac{44}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$，
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{19}{3}$，0）；
③如圖3

當(dāng)NE²+ME²=MN²時(shí)，（n+5）²+5²+34=（n+2）²+（5+5）²，
化簡(jiǎn)，得6n=20，
解得n=$\frac{10}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$，
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．
綜上所述：若以點(diǎn)M、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{19}{3}$，0），（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，又利用了面積的和差；利用勾股定理得出關(guān)于n的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．