Question

在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，并于CD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△CBE；
（2）求證：BD=CD；
（3）求證：△BDF≌△CDA；
（4）求證：CE=

1

2

BF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由BE為角平分線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)定義得到一對(duì)角相等，再由BE垂直于AC，得到一對(duì)直角相等，再由BE為公共邊，利用ASA即可得證；
（2）由CD垂直于BD，且∠ABC=45°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠DCB=45°，利用等角對(duì)等邊即可得證；
（3）根據(jù)同角的余角相等得到∠DBF=∠DCA，再由一對(duì)直角相等，且BD=CD，利用ASA即可得證；
（4）由（1）的結(jié)論得到AB=CB，根據(jù)BE垂直于AC，利用三線(xiàn)合一得到E為AC中點(diǎn)，即CE=

1

2

AC，根據(jù)（3）中的結(jié)論得到AC=BF，等量代換即可得證．

解答：證明：（1）∵BE為∠ABC平分線(xiàn)，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA）；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD；
（3）∵∠A為Rt△ABE和Rt△CDA的同角，
∴∠ABE=∠ACD=90°-∠A，即∠FBD=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，

∠FBD=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠CDA=90°

，
∴△BDF≌△CDA（ASA）；
（4）由證（1）結(jié)論知BC=BA，且BE⊥AC于點(diǎn)E，
∴CE=AE=

1

2

CA，
由（3）結(jié)論知BF=CA，
∴CE=

1

2

BF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．