Question

16．如圖（1），△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在直線CA上，動(dòng)點(diǎn)P直線BC上，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)．

（1）若D，P分別在邊CA和邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q請(qǐng)直接寫出AP與BD的數(shù)量關(guān)系．
（2）若動(dòng)點(diǎn)D，P在CA和BC的延長線上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，請(qǐng)你利用圖（2）求∠BQP的度數(shù)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)在AB的延長線上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過程中，DE與PE有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由△ABC為等邊三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，繼而證得結(jié)論；
（2）同理可證得△ABP≌△BCD（SAS），則可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，則可證得△DCG為等邊三角形，繼而證得△DGE≌△PBE（AAS），則可證得結(jié)論．

解答 解：（1）AP=BD．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根據(jù)題意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠C}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；

（2）根據(jù)題意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCP}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．
理由：過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG為等邊三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠PEB}\\{∠GDE=∠BPE}\\{DG=PB}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，