Question

5．已知：兩等圓⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)O₁在⊙O₂外，延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)N，在劣弧$\widehat{NB}$上任取一點(diǎn)C（點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合），CB的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)AC，試比較AC與AB的大�。�

Answer 1

分析 連接AO₁并延長(zhǎng)交⊙O₁于E，連接AO₂并延長(zhǎng)交⊙O₂于F，連接BE，BF，AD交BF于G，由AE是⊙O₁的直徑，得到∠ABE=90°，同理∠ABF=90°，證得E，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，延長(zhǎng)BE，AC交于H，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧$\widehat{NE}$上（不與點(diǎn)C重合）時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEF=∠AFE，于是得到∠ACB=∠AEF=∠AFE=∠ADB，證得AC=AD，推出AD＞AG＞AB，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE=AC＞AB，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧$\widehat{EB}$上（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，證得AC＞AH＞AB，即可得到結(jié)論．

解答 解：AC＞AB，
如圖1，連接AO₁并延長(zhǎng)交⊙O₁于E，連接AO₂并延長(zhǎng)交⊙O₂于F，連接BE，BF，AD交BF于G，
∵AE是⊙O₁的直徑，
∴∠ABE=90°，同理∠ABF=90°，
∴E，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
延長(zhǎng)BE，AC交于H，
當(dāng)點(diǎn)C在劣弧$\widehat{NE}$上（不與點(diǎn)C重合）時(shí)，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠ACB=∠AEF=∠AFE=∠ADB，
∴AC=AD，
∵AB⊥EF，
∴AD＞AG＞AB，
∵AC=AD，
∴AC＞AB，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE=AC＞AB，
當(dāng)點(diǎn)C在劣弧$\widehat{EB}$上（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，
如圖2，連接AO₁并延長(zhǎng)交⊙O₁于E，
∴∠ABE=90°，
∴AC＞AH＞AB，
綜上，AC＞AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓的位置關(guān)系，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．