【題目】在△ABC中,∠ACB45°,點D為射線BC上一動點(與點B、C不重合),連接AD,以AD為一邊在AD一側(cè)作正方形ADEF(如圖1).

1)如果ABAC,且點D在線段BC上運動,證明:CFBD;

2)如果ABAC,且點D在線段BC的延長線上運動,請在圖2中畫出相應(yīng)的示意圖,此時(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由;

3)設(shè)正方形ADEF的邊DE所在直線與直線CF相交于點P,若AC4,CD2,求線段CP的長.

【答案】1)見解析;(2ABAC時,CFBD的結(jié)論成立.理由見解析;(3)線段CP的長為22+

【解析】

1)證出∠BAC=∠DAF90°,得出∠BAD=∠CAF;可證DAB≌△FACSAS),得∠ACF=∠ABD45°,得出∠BCF=∠ACB+ACF90°.即CFBD

2)過點AAGACBC于點G,可得出ACAG,易證GAD≌△CAFSAS),得出∠ACF=∠AGD45°,∠BCF=∠ACB+ACF90°.即CFBD

3)分兩種情況去解答.①點D在線段BC上運動,求出AQCQ4.即DQ422,易證AQD∽△DCP,得出對應(yīng)邊成比例,即可得出CP;②點D在線段BC延長線上運動時,同理得出CP

1)證明:∵四邊形ADEF是正方形,

∴∠DAF90°,ADAF

ABAC,∠BAC90°,

∴∠BAD+DAC=∠CAF+DAC90°,

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD和△CAF中,,

∴△BAD≌△CAFSAS),

ACF=∠ABD45°

ABAC,∠BAC90°,

∴∠ACB=∠ABD45°

∴∠BCF=∠ACB+ACF90°,

CFBD;

2)解:如圖2所示:ABAC時,CFBD的結(jié)論成立.理由如下:

過點AGAACBC于點G,

則∠GAD=∠CAF90°+CAD

∵∠ACB45°,

∴∠AGD45°,

ACAG

在△GAD和△CAF中, ,

∴△GAD≌△CAFSAS),

∴∠ACF=∠AGD45°,

∴∠BCF=∠ACB+ACF90°,

CFBD

3)解:過點AAQBCCB的延長線于點Q,

D在線段BC上運動時,如圖3所示:

∵∠BCA45°,

∴△ACQ是等腰直角三角形,

AC4

AQCQAC

DQCQCD2,

AQBC,∠ADE90°,

∴∠DAQ+ADQ=∠ADQ+PDC90°,

∴∠DAQ=∠PDC

∵∠AQD=∠DCP90°,

∴△DCP∽△AQD

,即,

解得:CP2

D在線段BC延長線上運動時,如圖4所示:

∵∠BCA45°,

AQCQ,

DQAQ+CD+2

AQBCQ

∴∠Q=∠FAD90°,

∵∠CAF=∠CCD90°,∠ACF=∠CCD,

∴∠ADQ=∠AFC′,

則△AQD∽△ACF

CFBD

∴△AQD∽△DCP,

,即,

解得:CP,

綜上所述,線段CP的長為

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0

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0.5

1.0

1.5

1.8

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

4.8

5.0

y/cm

2.5

2.44

2.42

2.47

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