Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，0），直線l：y=-x+4，在第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線l上，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，設(shè)△OPA的面積為S．
（1）分別求出B、C的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）若在坐標(biāo)系中有一點(diǎn)Q（a，2），且△QAC的面積與△OBC的面積相等，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）令y=0，則x=4，令x=0，則y=4，即可求得B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式和P的坐標(biāo)即可表示出關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）△QAC的面積等于三角形CQG與四邊形OBQG的面積的和減去三角形OAC的面積，根據(jù)△QAC的面積與△OBC的面積相等，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求得．

解答：解：（1）令y=0，則0=-x+4，得：x=4，
∴B（4，0），
令x=0，則y=4，
∴C（0，4），

（2）∵S=

1

2

OA•y，
∴S=

1

2

×3y，
∵點(diǎn)P（x，y）在直線l上，
∴S=

3

2

（-x+4）=-

3

2

x+6，
即S=-

3

2

x+6，（0＜x＜4）；

（3）如圖，∵Q（a，2），
∴過(guò)Q點(diǎn)作x軸的平行線交y軸的交點(diǎn)G（0，2），
∵S_△OBC=

1

2

OB•OC=

1

2

×4×4=8，S_△CQG=

1

2

GQ•GC=

1

2

a×2=a，S_{四邊形OAQG}=

1

2

（OA+GQ）•OG=

1

2

（a+3）×2=a+3，S_△OAC=

1

2

OA•OC=

1

2

×3×4=6，
又∵△QAC的面積與△OBC的面積相等，
∴S_△CQG+S_{四邊形OAQG}-S_△OAC=8，
即a+a+3-6=8，解得：a=

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線上的點(diǎn)的特點(diǎn)，三角形的面積，以及分割法求三角形的面積的方法等，（3））△QAC的面積等于三角形CQG與四邊形OBQG的面積的和減去三角形OAC的面積是本題的關(guān)鍵．