Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過點(diǎn)A作直線MN，使∠MAC=∠ABC，D是

AC

的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）請(qǐng)說明MN是半圓的切線；
（2）請(qǐng)說明FD=FG；
（3）若△DFG的面積為9，且DG：GC=3：4，試求△BCG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的判定,圓周角定理,切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，由AB是半圓的直徑可得∠ACB=90°，從而有∠CAB+∠ABC=90°，再結(jié)合條件∠MAC=∠ABC就可證到∠MAB=90°，進(jìn)而可證到MN是半圓的切線．
（2）連接AD，如圖2，由D是

AC

的中點(diǎn)可得∠DAC=∠DBA，由DE⊥AB，∠ADB=90°可得∠ADE=∠DBA，從而有∠DAC=∠ADE；再根據(jù)∠ADB=90°就可證到∠EDB=∠DGA，則有FD=FG．
（3）如圖2，由FA=FD，F(xiàn)D=FG可得FA=FG，由條件“△DFG的面積為9”就可求出△ADG的面積；易證△ADG∽△BCG，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△BCG的面積．

解答：解：（1）如圖1，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°．
∴∠MAB=90°，即MA⊥AB．
∵M(jìn)A經(jīng)過直徑AB的外端，且MA⊥AB，
∴MN是半圓的切線．

（2）連接AD，如圖2．
∵D是

AC

的中點(diǎn)，
∴∠DAC=∠DBA．
∵DE⊥AB，∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°-∠EDB=∠DBA．
∴∠DAC=∠ADE．
∴FA=FD．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAC+∠DGA=90°．
∴∠EDB=∠DGA．
∴FD=FG．

（3）如圖2，
∵FA=FD，F(xiàn)D=FG，
∴FA=FG．
∴AG=2FG．
∴S_△ADG=2S_△FDG=18．
∵∠DAG=∠CBG，∠AGD=∠BGC，
∴△ADG∽△BCG．
∴

S△ADG

S△BCG

=（

DG

CG

）²．
∵DG：GC=3：4，S_△ADG=18．
∴

18

S△BCG

=

9

16

．
∴S_△BCG=32．
∴△BCG的面積為32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性，而證出FA=FG及運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)（相似三角形的面積比等于相似比的平方）是解決第（3）小題的關(guān)鍵．