Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，且C（4，0）、D（0，3）．現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長是

 

、面積是

 

、高BE的長是

 

；
（2）若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位．當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)點C、D的坐標求出OC、OD，然后利用勾股定理列式計算即可求出邊長，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AC、BD，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解；利用菱形的面積列出方程求解即可得到BE的長；
（2）過點Q作QG⊥AD，垂足為G，根據(jù)△AQG和△ABE相似，利用相似三角形對應邊成比例列式表示出QG，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答，

解答：解：（1）∵C（4，0）、D（0，3），
∴OC=4，OD=3，
由勾股定理得，CD=

OC2+OD2

=

42+32

=5，
∵AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形的面積=

1

2

×8×6=24，
菱形的面積=

1

2

×5BE=24，
解得BE=

24

5

；
故答案為：5，24，

24

5

；

（2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
如圖，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，
∵QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

AQ

AB

，
∴QG=

10-2t

5

×

24

5

=

48

5

-

48

25

t，
∴S=

1

2

AP•QG=

1

2

t（

48

5

-

48

25

t）=-

24

25

t²+

24

5

t（

5

2

≤t≤5），
∵S=-

24

25

t²+

24

5

t=-

24

25

（t-

5

2

）²+6（

5

2

≤t≤5）
∴當t=

5

2

時，S最大值為6．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的應用，（1）利用菱形的面積列出方程是求BE的關(guān)鍵，（2）求面積的最大值時要注意t的取值范圍．