Question

17．課堂上，某老師給出一道數(shù)學(xué)題：如圖1所示，D點(diǎn)在AB上，E點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連接DE交BC于F，若F點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，證明：AB=AC．
小明的思路是：過(guò)D作DG∥AE，交BC于點(diǎn)G，如圖2；
小麗的思路是過(guò)E作EH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖3．
請(qǐng)根據(jù)小明或小麗的思路任選一種完成該題的證明過(guò)程．

Answer 1

分析 圖2，根據(jù)平行線求出∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，根據(jù)AAS推出△DFG≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DG=CE，求出BD=DG，求出∠B=∠ACB即可；
圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠H，根據(jù)AAS推出△BDF≌△HEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EH=BD，求出∠B=∠ACB即可．

解答 證明：圖2，∵DG∥AE，
∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，
∵F點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，
∴DF=EF，
∵在△DFG和△EFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠ECF}\\{∠GDF=∠E}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DG=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠B=∠DGB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC；
圖3，∵EH∥AB，
∴∠B=∠H，
在△BDF和△HEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠EFH}\\{∠B=∠H}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴EH=BD，
∵BD=CE，
∴CE=EH，
∴∠H=∠HCE，
∵∠H=∠B，∠HCE=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．