【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=﹣x+4交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)A,過A、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+4交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B,且tan∠BAO=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知E、F是線段AC上異于A、C的兩個(gè)點(diǎn),且AE<AF,EF=2,D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn),且DE=DF,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△DEF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量m的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)∠EDF=90°時(shí),連接BD,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過P作PQ⊥BD交線段BD于點(diǎn)Q,連接EQ.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,求t為何值時(shí),PE=QE.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)S=﹣m2+m;(3)當(dāng)t的值為1+或1﹣時(shí),PE=QE.
【解析】
(1)令﹣x+4=0,解得x=8,令x=0,y=4,由tan∠BAO=,OA=4,得OB=3,由以上可得點(diǎn)A、B、C坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度,再利用相似三角形找到線段間的比例關(guān)系,繼而可求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;
(3)可利用(2)得到線段的長(zhǎng)度,再綜合分析(3)給出的已知信息,可知△EDF為等腰直角三角形,從而得到點(diǎn)E、D的坐標(biāo),繼而結(jié)合三角形中位線定理等知識(shí)列式求解即可.
(1)令﹣x+4=0,解得x=8,∴C(8,0),
令x=0,y=4,∴A(0,4),AC=4,
∵tan∠BAO=,OA=4,∴OB=3,
∴B(﹣3,0),
將點(diǎn)B、C代入拋物線y=ax2+bx+4得,
,
解得,
∴拋物線得解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)如圖所示,過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為G,交AC于點(diǎn)K,過點(diǎn)D作EF的垂線,垂足為H,
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)x=m時(shí),
y=﹣m2+m+4,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,代入點(diǎn)A、C,
,
解得,
∴y=﹣x+4,
∴K(m,﹣m+4),
∴DK=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+m,
∵△DHK∽△COA,
∴,
∴,
∴DH=(﹣m2+m),
∴S=EFDH=﹣m2+m;
(3)由(2)可知,DH=(﹣m2+m),
∵EF=2,DE=DF,且∠EDF=90°,
∴DH=,
∴=(﹣m2+m),
解得m1=3,m2=5,
當(dāng)m=3時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,不符合題意舍,
∴m=5,
∴D(5,4),
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(k,﹣k+4),DE=EF=,
DE==,
解得k1=2,k2=6,
∵E在點(diǎn)D左側(cè),∴k=2,
∴E(2,3),
連接BD,設(shè)BD的解析式為y=kx+b,代入點(diǎn)B、D,
,解得,
∴直線BD的解析式為y=x+,
過點(diǎn)E作y軸的平行線交BD于點(diǎn)N,
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,),
∴EN=,
連接PE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)K,
∵∠PQK=90°,EP=EQ,
∴∠EPQ=∠EQP,
∴∠EKQ=∠EQK,
∴EQ=EK=EP,
∴點(diǎn)E為PK的中點(diǎn),
過點(diǎn)P作y軸的平行線交BD于點(diǎn)S,
∴PS=2EN,
∵P(t,-t2+t+4),
∴S(t,t+),
∴PS=-t2+t+,
∴-t2+t+=1,
解得t1=1+,t2=1﹣,
∴當(dāng)t的值為1+或1﹣時(shí),PE=QE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,,,點(diǎn)在邊上,以為圓心,為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)是弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
求半徑的長(zhǎng);
如果點(diǎn)是弧的中點(diǎn),聯(lián)結(jié),求的正切值;
如果平分,延長(zhǎng)交于點(diǎn),求線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,E是邊BC上的點(diǎn),且∠AED=∠CAD,DE交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABE∽△DAF;
(2)當(dāng)ACFC=AEEC時(shí),求證:AD=BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以AB為直徑的⊙O與CD切于點(diǎn)E,AD交⊙O于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABE=45°;
(2)連接CF,若CE=2DE,求tan∠DFC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家為了實(shí)現(xiàn)2020年全面脫貧目標(biāo),實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略,采取異地搬遷,產(chǎn)業(yè)扶持等措施.使貧困戶的生活條件得到改善,生活質(zhì)量明顯提高.某旗縣為了全面了解貧困縣對(duì)扶貧工作的滿意度情況,進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,分為四個(gè)類別:A.非常滿意;B.滿意;C.基本滿意;D.不滿意.依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)將圖1補(bǔ)充完整;
(2)通過分析,貧困戶對(duì)扶貧工作的滿意度(A、B、C類視為滿意)是 ;
(3)市扶貧辦從該旗縣甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)3戶、乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)2戶共5戶貧困戶中,隨機(jī)抽取兩戶進(jìn)行滿意度回訪,求這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)“切實(shí)減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)”是我市作業(yè)改革的一項(xiàng)重要舉措.某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外作業(yè)時(shí)間,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí).A:1小時(shí)以內(nèi),B:1小時(shí)-1.5小時(shí),C:1.5小時(shí)-2小時(shí),D:小時(shí)以上.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)該校共調(diào)查了_________名學(xué)生;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)表示等級(jí)A的扇形圓心角的度數(shù)是____________;
(4)在此次問卷調(diào)查中,甲、乙兩班各有2人平均每天課外作業(yè)時(shí)間都是2小時(shí)以上,從這4人中任選2人去參加座談,用列表或樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級(jí)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連結(jié)CD,過點(diǎn)B作BG⊥CD,分別交CD、CA于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)DF.給出以下四個(gè)結(jié)論:①;②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn);③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結(jié)論序號(hào)是( 。
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+b與雙曲線 交于A、B兩點(diǎn),連接OA、OB,AM⊥y軸于點(diǎn)M,BN⊥x軸于點(diǎn)N,有以下結(jié)論:①S△AOM=S△BON;②OA=OB;③五邊形MABNO的面積;④若∠AOB=45°,則S△AOB=2k,⑤當(dāng)AB= 時(shí),ON﹣BN=1;其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( 。
A. 5個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形中,,是邊的中點(diǎn),點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),,連接,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,連接,.則線段長(zhǎng)的最小值( )
A. B. C. D.
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